Читаем Физика в примерах и задачах полностью

Физика в примерах и задачах

Александр Александрович Быков , Александр Сергеевич Кондратьев , Е. И. Бутиков

Чтобы сформулировать принцип эквивалентности, рассмотрим следующий мысленный эксперимент. Пусть закрытая лаборатория, например кабина лифта, движется с постоянным ускорением a относительно какой-либо инерциальной системы отсчёта в области пространства, где отсутствует поле тяготения. Тогда все свободные тела в лифте, которые относительно инерциальной системы не имеют ускорения, будут относительно лифта иметь одинаковое ускорение -a. Находящийся в закрытом лифте наблюдатель, который не имеет возможности «выглянуть наружу», по поведению этих тел не сможет решить, движется ли лифт с ускорением a или он покоится в однородном поле тяжести, напряжённость которого g равна -a. В самом деле, при действии такого поля тяжести все свободные тела в покоящемся лифте будут двигаться с одинаковым ускорением g=-a.

Такая эквивалентность поля тяжести и ускоренного движения системы отсчёта справедлива для любых механических явлений: все механические явления в движущемся с ускорением лифте происходят точно так же, как и в неподвижном лифте, но находящемся в поле тяжести. Сформулировав этот принцип, Эйнштейн распространил его, так же как и принцип относительности, не только на механические явления, но и на все физические явления вообще.

Рис. 10.2. В системе отсчёта, связанной с цистерной, действует эффективное поле тяжести g

Применение принципа эквивалентности позволяет упростить рассмотрение многих физических явлений, а нашу задачу вообще превращает в тривиальную. Вместо того чтобы рассматривать ускоренно движущуюся цистерну, будем считать, что она неподвижна, но на все тела в ней действует дополнительное гравитационное поле g=-a (рис. 10.2). Это поле, складываясь с истинным полем тяжести Земли, даёт эффективное поле тяжести, напряжённость которого g=g+g=g-a. Вектор g отклонён от истинной вертикали на угол , тангенс которого определяется соотношением

(1)

Напряжённость эффективного поля тяжести находится по теореме Пифагора:

g^2+a^2

(2)

Рис. 10.3. Маятник совершает колебания с амплитудой около направления, задаваемого вектором g

Ясно, что в положении равновесия нить маятника направлена вдоль вектора g. В начальный момент, когда цистерна начинает двигаться с ускорением a, шарик неподвижен, а нить вертикальна, т.е. маятник отклонён от нового положения равновесия на угол влево (рис. 10.3). Поэтому маятник в пустой цистерне будет совершать относительно нового положения равновесия колебания с угловой амплитудой . Если ускорение цистерны a мало по сравнению с ускорением свободного падения g, то амплитуда колебаний мала и колебания будут гармоническими. Угол отклонения от нового, положения равновесия (t) будет при этом изменяться со временем по закону

(t)

cos t

(3)

где частота при малой амплитуде определяется соотношением

g^2+a^2

(4)

При наличии трения эти колебания постепенно затухнут, и маятник остановится в новом положении равновесия.

Рис. 10.4. В заполненной водой цистерне лёгкий шарик занимает перевёрнутое положение

Используя принцип эквивалентности, легко ответить и на вопрос о том, как будет вести себя маятник в цистерне, заполненной водой. Из-за большой вязкости колебания прекратятся практически сразу, и маятник остановится в положении равновесия. Если плотность шарика больше, чем плотность воды, то положение равновесия маятника будет таким же, как и в пустой цистерне. Если же плотность шарика меньше, чем плотность воды, то угол отклонения нити в положении равновесия отличается на . При заполнении цистерны водой шарик всплывёт под действием архимедовой силы, направленной противоположно силе тяжести. При движении цистерны с ускорением a архимедова сила направлена противоположно вектору g (рис. 10.4).

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие

КИНЕМАТИКА

Переправа

(

Как опередить автобус?

(

Радиус кривизны

(

Падающий мяч

(

В цель с наименьшей начальной скоростью