Физика в примерах и задачах

Силу натяжения нити T при её вертикальном положении можно найти и короче, не определяя радиуса кривизны траектории. Для этого достаточно сообразить, что оба шарика участвуют в сложном движении: движение по окружности радиуса l/2 вокруг центра нити складывается с движением этого центра по вертикали. Поэтому ускорения шариков a и a равны суммам ускорений a' и a', связанных с движением по окружности, и ускорения a центра нити. При вертикальном положении нити все эти ускорения направлены по вертикали (рис. 14.4). Модули ускорений a' и a' одинаковы и равны v^2/(l/2) Нижний шарик всё время движется по горизонтали, поэтому при вертикальном положении нити его полное ускорение a равно нулю. Из рис. 14.4 видно, что при этом a=a'=v^2/(l/2). Поэтому ускорение верхнего шарика

a

=

a'

+

a

=

4

v^2

l

.

(12)

Записывая уравнение второго закона Ньютона для верхнего шарика

T

+

mg

=

ma

и подставляя сюда ускорение a из формулы (12) и скорость v из формулы (5), приходим к прежнему выражению (11) для силы натяжения нити.

Из формулы (11) следует, что сила натяжения нити не обратится в нуль (T0), если начальная скорость шарика v удовлетворяет условию

v^2

>=

2,5gl

(13)

Выясним теперь, при каком условии нижний шарик не будет отрываться от поверхности, В начальный момент на неподвижный шарик действует сила реакции поверхности, равная mg. При движении другого шарика вверх, когда нить образует некоторый угол с горизонтом, эта сила убывает, так как появляется вертикальная составляющая силы натяжения нити. Для того чтобы шарик не оторвался от поверхности, необходимо, чтобы вертикальная составляющая силы натяжения не достигала бы значения, равного mg, даже при вертикальном положении нити. Таким образом, шарик не оторвётся, если вычисляемое по формуле (11) значение T не превышает mg:

2mv^2

l

-

5mg

=

mg

,

откуда для максимального допустимого значения начальной скорости получаем

mv^2

3gl

(14)

Подведём итоги. Если начальная скорость шарика v лежит в интервале

2,5gl

mv^2

3gl

то нить при движении шариков всё время натянута, а нижний шарик скользит по поверхности стола. Верхний шарик опишет половину эллипса (рис. 14.2) и ударится о поверхность. Перед ударом его скорость по модулю равна v и направлена вертикально вниз. Если удар о поверхность абсолютно упругий, то эта скорость изменит направление на противоположное и шарик опишет ту же траекторию в обратном направлении.

15. Стержень с шариками.

На идеально гладкой горизонтальной поверхности вертикально стоит гантель, представляющая собой два одинаковых шарика, соединённых невесомым стержнем длины l. Нижнему шарику мгновенно сообщают скорость v в горизонтальном направлении (рис. 15.1). При каких значениях v шарик будет скользить, не отрываясь от плоскости? Какова будет скорость верхнего шарика в момент его удара о горизонтальную поверхность?

Рис. 15.1. Начальное положение гантели

На все поставленные в условии вопросы гораздо легче ответить, если рассматривать движение гантели в системе отсчёта, где её центр масс движется по вертикали. Очевидно, что такая система отсчёта движется относительно лабораторной системы отсчёта с постоянной скоростью v/2, направленной горизонтально, и тоже является инерциальной. В этой системе отсчёта скорости шариков в начальный момент равны v/2 и направлены горизонтально в противоположные стороны (рис. 15.2).

Рис. 15.2. Скорости шариков в начальный момент в системе отсчёта, движущейся вправо со скоростью v/2

Выясним, при каком условии нижний шарик оторвался бы от поверхности. Ясно, что в этом случае сила реакции поверхности равна нулю, и, следовательно, гантель падает с ускорением свободного падения. Поскольку гантель ещё и вращается вокруг центра масс, то нижний шарик имеет связанное с этим вращением центростремительное ускорение a_ц, направленное вверх:

a

_ц

=

(v/2)^2

l/2

=

v^2

2l

.

(1)

Шарик оторвётся от поверхности, если a_цg. В противоположном случае (a_цg) шарик не отрывается. Для этого его скорость должна удовлетворять условию

v^2

2gl

.

(2)

Для нахождения скорости верхнего шарика в момент удара можно воспользоваться законом сохранения энергии. В этот момент во введённой системе отсчёта его скорость v направлена вертикально вниз, а скорость скользившего по поверхности шарика обращается в нуль (рис. 15.3). Действительно, в этой системе отсчёта центр масс падает по вертикали. В момент падения гантели на поверхность стержень, соединяющий шарики, расположен горизонтально, поэтому горизонтальные составляющие скоростей всех его точек, в том числе середины и концов, в момент падения равны нулю.

Рис. 15.3. Скорости шариков в момент падения гантели на горизонтальную плоскость в той же системе отсчёта

Таким образом, закон сохранения энергии во введённой системе отсчёта можно записать в виде

mv^2

2

=

mgl

+

2

m(v/2)^2

2

,

(3)

откуда

v^2

=

2gl

+

v^2

2

.

(4)

В лабораторной системе отсчёта скорость v падающего шарика в момент удара определяется выражением

v^2

=

v^2

+

v^2

4

=

2gl

+

3v^2

4

.

(5)

Рис. 15.4. Скорости шариков в лабораторной системе отсчёта