Флатландия. Сферландия

Предисловие

Многомерные пространства давно утратили тот ореол таинственности, которым они были некогда окутаны. Идеи и методы многомерной геометрии (причем не только евклидовой, но и неевклидовой) находят ныне столь широкое применение, что трудно понять, как наши предки могли обходиться без них. К услугам многомерной геометрии прибегают химик, исследующий свойства многокомпонентных систем, и физик, пытающийся выяснить отдельные подробности поведения многих тел (трудности проблемы n тел столь велики, что вынуждают говорить о «многих телах» всякий раз, когда n ≥ 3), астроном и биолог. Проектировщик машин, создавая зубчатую передачу с большим числом шестерен, также вынужден будет воспользоваться методами многомерной геометрии, если хочет, чтобы его творение не просто соответствовало назначению, а выполняло свою функцию (в том или ином смысле) оптимально.

Четырехмерное евклидово пространство, ближайшего по размерности соседа привычного нам трехмерного пространства, постигла та же участь, что и другие многомерные пространства: оно утратило былую экзотичность и стало привычным инструментом в руках современного исследователя.

Четырехмерный мир — далеко не самое удивительное из того, что создано математической мыслью. Пытаясь найти ответы на внешне простые, но в действительности необычайно глубокие вопросы, математики совершили немало удивительных открытий. Они узнали, что существует не одна, а несколько геометрий, что размерность геометрической фигуры нельзя определять по такому интуитивно очевидному признаку, как «запас» принадлежащих фигуре точек, поскольку, например, множество точек, составляющих отрезок, равномощно множеству точек, составляющих квадрат или куб (иначе говоря, отрезок содержит «столько же» точек, сколько их содержит квадрат или куб), что размерность пространства не обязательно должна быть конечной и даже целой.

Не следует думать, будто столь странное па первый взгляд понятие, как нецелая размерность, является своего рода математическим курьезом и не имеет отношения к действительности.

Как доказывается в механике, простейшая из задач N тел — задача трех тел — приводит к необходимости рассматривать пятимерное пространство, а при произвольном N ≥ 3 — пространство с числом измерений, равным 3N − 4. Но почему нельзя считать N нецелым? Что мешает нам, например, говорить о π-мерном мире? Формулы n-мерной геометрии нам удается без особых ухищрений распространить на случай n = π. Но самое главное состоит в том, что представление о нецелых размерностях оказывается весьма эффективным в теории фазовых переходов и теории ноля. При рассмотрении некоторого процесса в системе с огромным числом частиц (или степеней свободы) может оказаться, что со временем в него вовлекаются все новые и новые частицы (участвует все большее число степенен свободы). Поэтому и число переменных, которые приходится учитывать в уравнениях, меняется со временем. Быть может, число переменных удобно считать не дискретной, как обычно, а непрерывной величиной. Тут-то и появляются пространства размерности π, √2 и 1,879. Правда, трудно сказать, понадобится ли кому-нибудь рассматривать треугольник в π-мерном пространстве и нужно ли выяснять, чему равна сумма его углов. Возвращаясь из π-мерного пространства в «обычное» 4-мерное, невольно испытываешь большое облегчение — настолько все становится простым и понятным!

Изучать многомерные, и в частности четырехмерные, пространства можно по-разному. Ничто не мешает, например, воспользоваться аксиоматическим методом, неоднократно доказавшим свою мощь, тем более, что, по словам известного геометра Г. С. М. Кокстера, «аксиоматический подход рассеивает таинственность, не уменьшая очарования самой идеи».

Однако для первого знакомства с четырехмерным миром нам кажется более подходящим метод аналогии. Основываясь на наглядно-геометрических представлениях о размерности геометрических фигур, мы можем совершать постепенное восхождение по шкале размерностей и переходить от одномерных фигур к двумерным, от двумерных — к трехмерным и, наконец, сделать решающий шаг: воспользоваться замеченными закономерностями и перейти к рассмотрению четырехмерных фигур. Таков обычный путь использования аналогии — лестницы, ведущей от известного к неизвестному и позволяющей не только овладевать накопленными знаниями, но и открывать новое. Менее традиционное применение аналогии состоит в том, что мы мысленно пытаемся представить себе трудности, с которыми сталкивается двумерное существо при попытке наглядно вообразить себе третье измерение, и экстраполируем свое превосходство над обитателем двумерного мира... на самих себя!