Флатландия. Сферландия

Предположим, что исходный отрезок AB, позволивший нам построить квадрат и куб, мы выбрали длиной в два дюйма. Тогда самому отрезку мы могли бы поставить в соответствие число 2, квадрату — число 2², а кубу — число 2³. Поскольку существуют числа 2⁴, 2⁵ и т. д„геометрический смысл которых неизвестен, естественно возникает вопрос: не могут ли эти числа соответствовать неким объектам, восприятие которых лежит за гранью человеческих возможностей, но было бы доступно каким-нибудь высшим существам, если бы таковые обладали соответствующими органами чувств? Человеческий разум не в силах наглядно представить себе четырехмерное пространство, в котором могло бы находиться тело, соответствующее числу 2⁴, но, рассуждая по аналогии, мы в состоянии выяснить несколько интересных фактов относительно фигуры, играющей в четырехмерном пространстве такую же роль, какую в нашем пространстве играет куб.

Мы видели, что: 1) точки ограничивают отрезок прямой; 2) отрезки прямых ограничивают квадрат; 3) квадраты ограничивают куб. Таким образом, в каждом измерении единичная фигура ограничена единичными фигурами на единицу меньшего числа измерений. Следовательно, четырехмерный аналог куба ограничен трехмерными кубами. Строя квадрат, мы передвинули единичный отрезок по кратчайшему пути' из начального положения в конечное, причем длина пути была равна длине самого отрезка. Аналогично куб мы построили, переместив квадрат из начального положения в конечное, отстоящее от начального на расстояние, равное длине стороны квадрата. И в том, и в другом случае движение происходило в направлении, перпендикулярном всем и каждой из границ производящей фигуры.

Отсюда мы заключаем, что и четырехмерный аналог куба можно построить, переместив куб на расстояние, равное длине любого из его ребер, в направлении, перпендикулярном всем ребрам производящего куба. Нашему разуму это направление представляется столь же чуждым и странным, как высота — существу, обитающему в двумерном мире.

При движении отрезка прямой, заметающего квадрат, число границ вновь построенного квадрата было равно удвоенному числу отрезков (исходный отрезок плюс отрезок в конечном положении) плюс два отрезка, порожденные при движении концами исходного отрезка. Аналогично в число граней куба следует включить два квадрата (производящий квадрат в исходном и в конечном положении) плюс четыре квадрата, порожденных при движении четырьмя сторонами исходного квадрата. Отсюда ясно, что в число кубов, ограничивающих четырехмерный аналог куба, должны входить два куба (производящий куб в исходном и в конечном положении) плюс шесть кубов, порожденных при движении гранями исходного куба, то есть всего восемь кубов.

Возвращаясь к квадрату и кубу, нетрудно видеть, что число вершин у построенной фигуры всякий раз оказывается вдвое больше, чем у производящей фигуры. Так, прямолинейный отрезок с двумя конечными точками («вершинами») порождает квадрат с четырьмя вершинами, а у куба число вершин достигает восьми. Следовательно, у четырехмерного аналога куба число вершин равно шестнадцати. Число ребер, или отрезков прямых, соединяющих вершины, можно подсчитать следующим образом. У квадрата четыре стороны («ребра»): две из них образуют производящий отрезок в начальном и конечном состоянии, две другие вычерчивают при движении концы производящего отрезка. У куба двенадцать ребер: восемь из них дает производящий квадрат в исходном и конечном положении, а остальные вычерчивают при движении вершины квадрата. Таким образом, число ребер у каждой фигуры равно удвоенному числу ребер у производящей фигуры плюс те ребра, которые порождают при своем движении вершины производящей фигуры. Следовательно, у четырехмерного аналога куба имеется 12 × 2 + 8 = 32 ребра. Итак, четырехмерный аналог куба ограничен восемью кубами, шестнадцатью вершинами и тридцатью двумя ребрами. Если ребро производящего куба имеет в длину 2 дюйма, то «объем» четырехмерного куба выразился бы числом 2⁴.

Сколь ни любопытными могут показаться приведенные выше геометрические утверждения, они меркнут в сравнении с теми драматическими последствиями, к которым приводит понятие четвертого измерения. Для существа, способного воспринимать лишь длину и ширину, прямая, проведенная нами на плоскости, стала бы столь же непреодолимым препятствием, каким служил бы для нас каменный забор, неограниченно простирающийся в высоту. Но это еще не все. Мы, трехмерные существа, можем дотронуться до любой части внутри плоской фигуры, не прикасаясь к ее границе. Представим себе, что на плоскости внутри некоторой замкнутой кривой находятся несколько двумерных существ. Каково бы было их изумление, если бы они узнали, что некие высшие существа обладают способностью проникать сквозь любое известное им ограждение, даже не прикасаясь к нему! Нечто аналогичное можно представить себе и в нашем мире. Предположим, что существо A, запертое в герметически закрытом бронированном сейфе, внезапно обнаруживает рядом с собой некое существо B, спустившееся из четвертого измерения.