Фрактальная геометрия природы

Главы расположены в порядке возрастания сложности обсуждаемых в них предметов; сделано это для облегчения восприятия основных концепций, вводимых постепенно, по мере возникновения необходимости. То, что такой подход вообще оказывается возможным, является немалым плюсом для теории фракталов. Текст изобилует повторениями, так что читатель едва ли сможет потерять основную нить рассуждения, даже пропустив несколько абзацев, которые покажутся ему слишком скучными или слишком сложными (особенно те, что содержат формулы, выходящие за пределы элементарной математики). Большое количество важных сведений можно почерпнуть из пояснений к иллюстрациям.

Как уже упоминалось, иллюстрации помещены после тех глав, в которых впервые рассматриваются соответствующие феномены. Кроме того, автор довольно часто испытывает необходимость побеседовать частным порядком с той, скажем так, категорией читателей, которая может испытать крайний дискомфорт, если какое-либо место в книге останется нерассмотренным или необъясненным. Такие отступления вставлены прямо в основной текст и снабжены лично мною изобретенными скобками < и ► — для того, чтобы остальные могли их легко заметить и пропустить. Есть и другие отступления, посвященные не настолько существенным замечаниям, чтобы развивать их здесь в полном объеме. В целом же в этом эссе гораздо меньше отступлений, чем во «Фракталах» 1977 г.

Кроме того, теперь, как мне кажется, можно с одного взгляда на текст определить, идет речь о теоретической размерности D или же об экспериментальной. Значение последней, как правило, известно лишь с точностью до одного или двух десятичных знаков и записывается поэтому как 1, 2 или 1, 37. Значение теоретической размерности записывается в виде целых чисел, отношений целых чисел, отношений логарифмов целых чисел или в десятичной форме, по меньшей мере, с четырьмя знаками после запятой.

И СНОВА ГЛАВНАЯ ТЕМА

Отрекшись от всевозможных побочных для настоящего эссе целей, хочу напомнить, о чем я говорил в первой главе. Эта книга представляет собой одновременно и манифест, и собрание прецедентов; за редкими исключениями она составлена из тех теоретических предположений, которые я в свое время высказывал и которые часто приводили к извлечению из праха всевозможных древних идей и их пересмотру с современной точки зрения.

Ни одна из этих теорий не остановилась в своем развитии, а некоторые все еще не вышли из зародышевой стадии. Для одних теорий эта книга — первый выход в свет, другие уже описаны в моих более ранних работах. Кроме моих собственных теорий, в книге упоминаются всевозможные сторонние разработки, инспирированные моими предыдущими исследованиями и давшие мне стимул продолжать работу. Я, однако, далек от мысли попытаться составить полный список областей человеческой деятельности, в которых оказались полезными фракталы — мне не хочется разрушать стиль этого эссе в его теперешнем виде и терять дух манифеста.

И последнее напоминание: в мою задачу не входило проводить подробное исследование каждого прецедента (безусловно, желательное для специалистов). Однако многие темы упоминаются неоднократно. Да, вот еще что: не забывайте о предметном указателе.

II ТРИ КЛАССИЧЕСКИХ ФРАКТАЛА - СОВЕРШЕННО РУЧНЫЕ

5 КАКОВА ПРОТЯЖЕННОСТЬ ПОБЕРЕЖЬЯ БРИТАНИИ?

Прежде чем познакомиться с первым видом фракталов — а именно, с кривыми, фрактальная размерность которых превышает 1, — рассмотрим типичный участок какого-нибудь берега. Очевидно, что его длина не может быть меньше расстояния по прямой между его начальной и конечной точками. Однако, как правило, береговые линии имеют неправильную форму — они извилисты и изломаны, и их длины, вне всякого сомнения, значительно превышают расстояния между их крайними точками, измеренные по прямой.

Известно много способов оценить длину береговой линии более точно, и в этой главе мы проанализируем некоторые из них. В конце концов мы придем к очень примечательному выводу: длина береговой линии — понятие весьма скользкое, и голыми руками его не ухватишь. Какой бы метод измерения мы ни применяли, результат всегда одинаков: длина типичного побережья очень велика и настолько нечетко определена, что удобнее всего считать ее бесконечной. Следовательно, если кому-нибудь вздумается сравнить различные берега с точки зрения их протяженности, ему придется подыскать что-нибудь взамен понятия длины, которое к данному случаю неприменимо.

В этой главе мы как раз и займемся поисками подходящей замены, причем в процессе поисков нам не избежать знакомства с различными формами фрактальных концепций размерности, меры и кривой.

АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ МЕТОДЫ ИЗМЕРЕНИЯ