Фрегат капитана Единицы

Наши координаты 80° западной долготы и 10° северной широты. Фрегат вошёл в длинный, широкий шлюз канала. Мы стояли на корме и смотрели, как закрываются ворота шлюза. Сперва расстояние между створками было не менее 30 метров, потом оно стало постепенно уменьшаться. Вот уже просвет превратился в узкую длинную щёлку. Она становилась всё меньше и меньше и наконец исчезла совсем. Да иначе и быть не могло…

— Ты думаешь? — сказал капитан. — А вот 25 веков назад в древней Греции мудрец, по имени Зенон, пытался доказать, что можно сделать такую щель, которая никогда не исчезнет, несмотря на то что будет всё время уменьшаться. Зенон придумал такую задачу. «Однажды быстроногий Ахиллес решил состязаться в беге с черепахой. По условию он должен был бежать ровно в 10 раз быстрее её, но при этом дать ей 100 метров форы — то есть поставить на 100 метров впереди себя. И вот состязание началось. Когда Ахиллес пробежал 100 метров, отделявших его от черепахи, её уже в этом месте не было: за это время она продвинулась вперёд на 10 метров. Ахиллес пробежал и эти 10 метров. Но черепаха за это время успела продвинуться на 1 метр. Ахиллес преодолел и этот метр, но черепаха ушла вперёд на 10 сантиметров. Так расстояние между ними всё время уменьшалось. То оно было равно одному сантиметру, потом одному миллиметру, одной десятой миллиметра, одной сотой, тысячной, миллионной, миллиардной… Черепаха всё время оказывалась впереди своего соперника. Хоть на самую малость, но впереди! Так лучший бегун Греции не смог догнать самое медлительное существо на свете — черепаху».

— Не понимаю, — сказал я.

— Чего не понимаешь? — спросил капитан.

— Не понимаю двух вещей. Во-первых, где здесь щель?

— Ну это просто! Щель в этом случае — расстояние между Ахиллесом и черепахой, которое всё время уменьшается, но никогда не исчезнет.

— А это как раз то, — подхватил я, — чего я не понимаю во-вторых.

— И очень хорошо, что не понимаешь, — сказал капитан. — Потому что Зенон допустил в своих рассуждениях логическую ошибку, которая привела его к неверному выводу.

Если отрезок в 100 метров Ахиллес пробегает, скажем, за 10 секунд, то за 20 секунд он пробежит вдвое больше — целых 200 метров. Черепаха же за 20 секунд одолеет только 20 метров и останется на целых 80 метров позади Ахиллеса.

Я сказал, что 20 метров за 20 секунд для черепахи слишком много: черепахи так быстро не бегают.

— Так то черепахи настоящие, — возразил капитан, — а это — условная. Черепаха, которую выдумал мудрец Зенон.

— Хорош мудрец, нечего сказать! Надо же так ошибиться… Капитан задумчиво погладил бороду.

— Не торопись с выводами, юнга. Зенон, конечно, ошибся. Но он был первым учёным, который представил себе бесконечно малую величину — то есть такую величину, которая всё время стремится к нулю, но никогда её не достигнет. Вот и выходит, что Зенон как бы предвидел появление в науке того самого понятия, которое много веков спустя, в XVII столетии, почти одновременно открыли два великих человека: англичанин Исаак Ньютон и немец Готфрид Вильгельм Лейбниц. А ведь это открытие означало целый переворот в математике! С помощью бесконечно малых величин учёным удалось решить многие до тех пор нерешённые задачи. А главное, с этих пор применение математики в практической жизни значительно расширилось. Кстати, изучение бесконечно малых величин доныне остаётся одним из главных вопросов, которыми занимается современная наука.

— Выходит, ошибки тоже иногда бывают полезными! — сказал я.

— Ещё как! — подтвердил капитан.

ТВЁРДАЯ ПОЧВА

29 нуляля

Идём в сплошном тумане. Ни островка, ни бухты, ни гавани… Я совсем загрустил и сказал, что соскучился по твёрдой почве.

— Вот как! — прищурился капитан. — Но разве наш Фрегат не стоит на твёрдой почве?

Ну и шутник! Мы с коком расхохотались. Но оказалось, что капитан вовсе не шутит.

— Разве математика не та твёрдая почва, на которой развиваются самые разнообразные науки? — спросил он. — Начать с того, что математика возникла как подспорье для астрономии. А астрономия — самая древняя и самая необходимая людям наука.

— Почему самая необходимая? — возмутился я. — Ведь астрономия изучает небесные тела, а люди-то живут на Земле.