Юрий Завадский родился 30 июня (12 июля) 1894 года в Москве. Его отец Александр Францевич, служа добросовестно, получил чин коллежского асессора, который давал право на дворянство. Известно, что отец будущего советского деятеля искусств обладал великолепным басом – его даже приглашали на сцену Большого театра, но он предпочел службу чиновником, а пел дома на семейных концертах под аккомпанемент супруги, которая ранее окончила Московскую консерваторию. Семья была интеллигентной, дружной и весьма обеспеченной, жили в центре Москвы в большой квартире деда. Детей в семье было трое, их обожали и баловали. Некоторые современники утверждали, что Юра так и остался избалованным непосредственным и восторженным 10-летним ребенком. Учился Юрий Александрович в 9-й Московской гимназии, считавшейся лучшей. Мальчик был одаренным учеником, он прекрасно рисовал, посещал драматический кружок, ему легко давались языки (он отлично владел французским и английским).
Невероятно остроумная и мудрая актриса Фаина Раневская как-то съязвила, что родился Юрий Завадский в енотовой шубе. А он действительно был баловнем судьбы. В 1913 году Завадский поступил на юридический факультет Московского университета и одновременно брал уроки в школе рисования и живописи С. Ю. Жуковского, а затем в школе П. И. Келина. В 1915 году учился в студии Е. Б. Вахтангова (с 1920 года – 3-я студия МХАТ). В 1918 году П. Г. Антокольский, с которым Завадского связывала дружба на протяжении долгих лет жизни, познакомил его с М. И. Цветаевой, и она, увлекшись обольстительным красавцем, написала цикл стихов «Комедьянт». Завадский поразил Цветаеву высоким ростом и статью, элегантностью, золотыми кудрями с падавшей на лоб седой прядью, огромными синими глазами. Конечно, она увлеклась ярким молодым актером, возвращая ему свои чувства талантливыми стихотворными строчками… Ему посвящены циклы стихов поэтессы «Братья» (1918, вместе с П. Антокольским), «Комедьянт» (1918–1919), стихотворения «Beau tenebreux» (1918), «Я Вас люблю всю жизнь и каждый день…» (1918). Под именем «Юра 3.» он выведен в «Повести о Сонечке» (1937).
Марина Цветаева называла его «памятнейшим из всех» и «лицедеем». Она писала, страстно и мучительно подбирая слова и точные образы.
Как утверждают, в студии Евгения Вахтангова родилась и любовь поэтессы к театру, и под впечатлением пережитого в этих стенах она написала ряд пьес, которые, по утверждению некоторых, также были посвящены Завадскому.
Между прочим, в доме, где долгие последние годы жила Уланова, была комната, превращенная в библиотеку. В ней хранится 2400 книг, среди которых легко обнаруживаются томики Цветаевой. К счастью для поклонников великой балерины, ее квартира превращена в музей и все вещи остаются там в своем «первозданном» свете…
В 1920–1924 годах Юрий Завадский – актёр и режиссёр 3-й студии МХАТ (Студии имени Вахтангова); играл Антония в спектакле по пьесе М. Метерлинка «Чудо святого Антония» (1921), в котором выступил и как сценограф, и Калафа в «Принцессе Турандот» (1922). С 1922 года был членом художественного совета, избранного актёрами после смерти Вахтангова.
Как режиссёр Юрий Завадский дебютировал в 1924 году спектаклем по пьесе Н. В. Гоголя «Женитьба».
В 1924–1931 годах Юрий Завадский был актёром МХАТ, где, в частности, сыграл Чацкого и графа Альмавиву в «Женитьбе Фигаро». В том же 1924 году он создал собственную театральную студию (с 1927 года – Театр-студия), актёрами которой были его ученики В. П. Марецкая, Р. Я. Плятт, Н. Д. Мордвинов, П. В. Массальский и др., и руководил ею до 1936 года.
В 1932–1935 годах Юрий Завадский возглавлял Центральный театр Красной армии. В 1936 году был направлен в Ростов-на-Дону, где возглавлял построенный в 1935 году Театр имени М. Горького. В 1940 году Юрий Завадский вернулся в Москву и был назначен главным режиссёром Театра имени Моссовета, занимал этот пост до конца жизни. С ним вместе сюда перешли и любимые ученики. Среди наиболее значительных постановок – «Нашествие» Л. М. Леонова (1943), «Петербургские сновидения» по роману Ф. М. Достоевского «Преступление и наказание» (1969), «Маскарад» М. Ю. Лермонтова (две постановки: 1952 и 1964); за спектакль «Маскарад» Юрий Завадский в 1965 году был удостоен Ленинской премии.
С 1940 года преподавал в ГИТИС имени А. В. Луначарского, в 1947 году получил звание профессора.