Гаусс. Теория чисел

Пьер Ванцель, французский математик, в 1837 году доказал, что условие Гаусса является необходимым, и это превратило теорему в полное описание правильных многоугольников, которые можно построить с помощью линейки и циркуля. Математики называют такие условия тогда и только тогда. То есть у нас полностью определены правильные многоугольники, которые мы можем построить с помощью линейки и циркуля. Так, треугольник (3 = 2²⁰ +1), квадрат (4 = 2²¹ ), пятиугольник (5 = 2²¹ +1) и шестиугольник (6 = 2-(2²⁰ +1)) можно построить с помощью линейки и циркуля, а правильный семиугольник (7 =/= 2²ⁿ + 1 V_n) нельзя. Далее, правильный восьмиугольник (8 = 2³) можно построить, а правильный девятиугольник (9 = 3² =/= 2²ⁿ +1 V_n) ^{— нет}· Очевидно, что многоугольник с 17 сторонами, построенный Гауссом, — это пример многоугольников, в которых число сторон точно совпадает с одним из чисел Ферма, так как F₂ = 2²² +1 = 17.

Но это не означает, что нет людей, которые посвящали бы свое время и энергию безуспешному нахождению способов построения семиугольников или других фигур, что, как доказано математиками, невозможно осуществить с помощью линейки и циркуля. Это касается квадратуры круга, трисекции угла или удвоения куба. Первой задачей со страстью, которая сохранилась всю жизнь, занимался не кто иной, как Наполеон. Однако эту битву, в отличие от битв с прусской армией, Наполеон не смог, да и не мог бы выиграть.

ГЛАВА 2 «Арифметические исследования»

Гаусс — отец теории чисел в ее современном понимании. Среди других его достижений — решительный импульс в использовании комплексных чисел, благодаря чему он оставил нам инструмент, с помощью которого можно подойти к решению полиномиальных уравнений любого типа. Этой теме посвящена работа «Арифметические исследования», в которой Гаусс собрал свои многочисленные исследования, совершенные в молодые годы.

Гаусс привел математику XIX века к целям, о которых до него и не подозревали. Первым огромным вкладом ученого в алгебру была докторская диссертация, которую, как мы уже знаем, он защитил заочно в 1799 году в Хельмштедтском университете. Руководителем работы был Иоганн Фридрих Пфафф (1765-1825), один из великих математиков того времени, и он всегда относился с особым вниманием к своему подопечному. Пфафф считал своим долгом заботиться о том, чтобы его молодой друг больше двигался, и они часто гуляли днем, разговаривая о математике. Поскольку Гаусс отличался не только скромностью, но и некоторой замкнутостью, возможно, Пфафф не смог разглядеть все черты его натуры, однако известно, что сам молодой диссертант восхищался своим преподавателем, которого считал лучшим математиком Германии — благодаря не только отличным научным работам, но и простому и открытому характеру. Со временем ученик превзойдет учителя. Барон Александр фон Гумбольдт (1769-1859), знаменитый путешественник и любитель наук, с которым Гаусс сотрудничал, изучая геомагнетизм, спросил Пьера-Симона Лапласа (1749-1827), одного из выдающихся французских математиков, кого тот считает самым великим математиком в Германии. Лаплас ответил: «Пфаффа». «А Гаусс?» — удивился фон Гумбольдт, который поддерживал кандидатуру Карла Фридриха на пост директора Гёттингенской обсерватории. «О, — сказал Лаплас, — Гаусс — самый великий в мире».

Название докторской диссертации Гаусса звучит так: Demonstratio nova theorematis omnem functionem algebraicam rationalem integram unius variabilis in factores reales primi vel secundi gradus resolvi posse («Новое доказательство теоремы, в которой говорится, что любая алгебраическая рациональная функция может быть разложена на множители первой или второй степени с действительными коэффициентами»). В этом заголовке содержится небольшая ошибка, которая принесла молодому Гауссу еще больше величия: это доказательство было не «новым», а первым в истории полным доказательством основной теоремы алгебры.

Математика — царица наук, а арифметика — царица математики.

Карл Фридрих Гаусс

В этой теореме, в том виде, в каком ее формулировал Гаусс (затем она была обобщена), утверждается, что любой многочлен от одной переменной имеет столько корней, сколько показывает его степень, допуская, что эти корни могут быть множественными. Многочлен Р — это выражение вида Р(x) = a_nx_n + a_n-1x_n-1 + ... + а₁х + a₀, где коэффициенты а_n, а_n-1, ... , a₁, a₀ — действительные числа. Степень Р — это наибольший показатель степени, в которую нужно возвести переменную х, то есть n. Корни многочлена — это точки, в которых он равен нулю, то есть такие точки х, в которых Р(х) = 0. В качестве естественного следствия из теоремы можно сделать вывод, что любой многочлен степени n с n корнями, необязательно разными, которые мы обозначим r₁, r₂,..., r_n, можно разложить как произведение одночленов вида:

Р(х) = (x-r₁) · (x - r₂) · ... · (x - r_n).