Гаусс. Теория чисел

Хотя Гаусс не публиковал работ по неевклидовой геометрии, это не означает, что он вообще не занимался геометрическими проблемами. В 1827 году ученый представил фундаментальную работу о дифференциальной геометрии, использовавшую элементы математического анализа. Книга, озаглавленная Disquisitiones generales circa superficies curvas («Общие исследования о кривых поверхностях»), представляет собой вклад Гаусса в дифференциальную геометрию. В этой работе ученый создал дифференциальную геометрию поверхностей, которая в последующие десятилетия была дополнена работами многих математиков. Основная проблема здесь — это отражение на плоской карте геометрии других типов поверхностей. В самых простых случаях (при постоянной кривизне) появляются гомогенные геометрии: евклидова, эллиптическая и гиперболическая (именно ее разработали Бойяи и Лобачевский). Гаусс пошел намного дальше этих гомогенных пространств и ввел то, что сегодня называется кривизной Гаусса, — обобщение для поверхностей определенной кривизны на плоскости.

Это позволило ему сформулировать так называемую Theorema Egregium (выдающуюся теорему), главный результат дифференциальной геометрии. Говоря неформально, в теореме утверждается, что гауссова кривизна дифференцируемой поверхности может быть полностью определена посредством измерения углов и расстояний на самой поверхности, не ориентируясь на конкретную форму, которую она принимает в трехмерном евклидовом пространстве. Из этого следует, что понятие кривизны — это локальное свойство.

КРИВИЗНА ГАУССА

В геометрии кривая (в параметрическом виде) определяется на плоскости как отображение a (s) = (x(s),y (s)), где s — действительное число, а функции x(s) и y(s) дают координаты на плоскости. Параметрическими называются такие уравнения, в которых переменные х и у, каждая по отдельности, выражены через третью переменную, или параметр (в нашем случае s). Кривая должна быть непрерывной и дифференцируемой функцией, то есть плавной линией без углов. Так как она дифференцируемая, то в каждой точке s кривой можно определить касательную к ней. По определению кривизна а в s определяется как угол, образуемый касательной к кривой в точке s, t(s), с фиксированным направлением на плоскости, которое для удобства принимается за ось ОХ координат, то есть:

θ(s) = угол, образованный между < t(s), ось ОХ>.

Так что обычная кривизна k(s) кривой определяется как дифференциал функции θ, то есть:

k(s) = θ'(s).

На самом деле k{s) измеряет удаленность кривой от касательной прямой. Кривизна Гаусса, которая в некотором роде обобщает это понятие для поверхностей, может быть определена различными способами, самый простой из них задан выражением:

К=k · k₂,

где k₁ и k₂ — это главные кривизны в каждой точке пространства.

Изометрия — это математическое преобразование двух пространств, которое оставляет инвариантными расстояния между точками. Пример изометрии в евклидовом пространстве из трех измерений — это вращения. Итак, следствие из Theorema Egregium в том, что у двух поверхностей существуют изометрии, только если у них одинаковая гауссова кривизна. Очень показателен следующий пример: сфера с радиусом R имеет постоянную гауссову кривизну, равную R-^2, в то время как плоскость имеет нулевую кривизну. Как следствие Theorema Egregium, лист бумаги невозможно согнуть или повернуть так, чтобы получилась часть сферы, не сминая или не надрезая его. И наоборот, поверхность сферы не может быть представлена как плоскость без искажения расстояний.

У этого факта есть важный вывод для картографии: нельзя построить карту Земли, на которой масштаб был бы одинаковым в каждой точке плоскости. Следовательно, все обычно используемые проекции изменяют масштаб в различных точках и дают некоторое искажение. Идеальной карты Земли не существует и не может существовать.