Гильберт. Основания математики

∑x2p < ∞.

^p=1

Таким образом, при переходе из царства непрерывного в царство дискретного интеграл преобразуется в сумму (аналогичную операцию).

Пространство всех последовательностей действительных чисел суммируемого квадрата (сегодня обозначаемое l₂), где нужно искать решение, — это и есть гильбертово пространство. В этом пространстве числовых последовательностей, по аналогии с обычным евклидовым пространством, Гильберт определил расстояние и распространил на него классические понятия предела, непрерывности и так далее. Как Гильберт, так и его лучшие ученики (в особенности Эрхард Шмидт) досконально исследовали это геометрическое сходство функционального пространства l₂ с обычным геометрическим пространством R". Вся теория о гильбертовых пространствах способствовала выходу на сцену первого известного пространства с бесконечным числом измерений в его каноническом представлении об l₂.

Эти годы были решающими, прежде чем появилась возможность общего анализа пространств функций. В 1906 году увидела свет докторская диссертация Мориса Фреше (1878— 1973), которая имела огромное влияние, поскольку в ней в абстрактном виде было введено понятие расстояния во множестве функций, а также остальные связанные геометрические понятия.

Через некоторое время, в 1907 году, два молодых математика — бывший ученик Минковского Эрнст Фишер (1875-1954) и Фридьеш Рис (1880-1956), в ту пору учитель средней школы из венгерского городка, — независимо друг от друга открыли неожиданную связь между расцветающим функциональным анализом и другим великим математическим открытием того времени — теорией интегрирования Анри Лебега (1875-1941), которая была призвана залатать прорехи классических теорий интегрирования Коши и Римана. Теорема Фишера — Риса гласит, что существует соответствие, или изоморфизм, между пространством Гильберта l₂ и пространством функций интегрируемого квадрата (которое сегодня мы называем L₂). В одночасье родилась вторая модель гильбертова пространства. Эти работы позволили ввести новые функциональные пространства, такие как обобщение уже известных: пространств l_р и L_p при р > 1 (например, если р = 3, пространство последовательностей/функций суммируемого/интегрируемого куба, и так далее).

Групповой портрет. Слева направо: Альфред Хаар, сын Гильберта Франц, его неразлучный друг Герман Минковский, неизвестная женщина, Кёте Г ильберт, Давид Гильберт и Эрнст Хеллингер.

Эйнштейн в гостях у Лоренца в Лондоне в 1921 году. Для установления теории относительности немецкий физик воспользовался работой Лоренца и Пуанкаре, а также математической помощью Г ильберта.

Джон фон Нейман, ученик Гильберта, который дал имя своего учителя гильбертову пространству.

Официально функциональный анализ был введен в 1922 году, когда вышла из печати книга «Лекции по функциональному анализу» Поля Леви (1886-1971). В том же году была опубликована докторская диссертация поляка Стефана Банаха (1892-1945), в которой тот стремился доказать ряд теорем, справедливых для различных функциональных пространств, не останавливаясь на конкретной природе этих пространств (на конкретных функциях, которые входят в их состав).

Любопытно, что многие открытия Банаха в области функционального анализа были сделаны в шуме «Шотландского кафе» во Львове (в то время считавшемся территорией Польши), где он нацарапывал заметки на мраморной крышке стола или на салфетке. Результатом этих заметок Банаха и других известных математиков, его компаньонов, стала «Шотландская книга» — один из самых важных математических документов XX века.

КВАНТЫ, МАТРИЦЫ И ВОЛНЫ

После тысячи и одной неудачной попытки объяснить излучения черного тела (то есть тела, находящегося в закрытой полости) немецкому физику Максу Планку (1858-1947) наконец это удалось. Он заявил, что излучение и поглощение энергии всегда происходит пучками, в прерывистом, или «квантизованном», виде. Энергия, как и деньги, не принимает значения внутри непрерывного диапазона, а только в дискретных единицах. «Дискретизация», объявленная Планком, была настоящим актом отчаяния. Рождение квантовой теории относится к 14 декабря 1900 года, когда его закон об излучении черного тела был представлен публично.