Гильберт. Основания математики

К концу 1882 года Кантор разработал свою арифметику кардинальных и порядковых (трансфинитных) чисел, а также выдвинул континуум-гипотезу. Натуральные числа образуют бесконечное множество наименьшего размера, который мы можем вообразить. Следовательно, его кардинальное число, то есть первое бесконечное кардинальное число, обозначается буквой алеф еврейского алфавита с нижним индексом 0: ϰ₀. Это кардинальное число соответствует всем счетным множествам, и это первая веха на пути к бесконечности. Кардинальное число континуума, действительных чисел, равно (по ряду сложных причин) 2^ϰ₀. При таких условиях континуум-гипотеза устанавливает, что нет никакой другой бесконечности между натуральными и действительными числами, или, говоря другими словами, что 2^ϰ₀ =ϰ₁ Последовательность кардинальных чисел ϰ₀, ϰ₁, ϰ₂,... работает как своего рода модель для измерения размера вселенной множеств, где существует бесконечное число бесконечностей. Безрезультатные попытки доказать континуум-гипотезу и постоянные нападки Кронекера на теорию трансфинитных множеств спровоцировали у Кантора депрессию, которая отдалила его от математики и подтолкнула в сторону теологии (он также увлекался идеей, что Бэкон был истинным автором произведений Шекспира).

С 1900 года теория Кантора, как и логика, стала мостом над бурными водами. Параллельно с логическими парадоксами возникли антиномии теории множеств. Большинство парадоксов, в которых говорилось о классах, были переформулированы с помощью теории множеств (например, парадокс Рассела). Но появились и новые: парадоксы бесконечности. В то время как логические парадоксы были связаны с цикличностью определения некоторых классов, парадоксы множеств отсылали к бесконечности. Главный в их числе — парадокс Кантора о собрании всех множеств. Пусть V — «множество» всех множеств. Поскольку, как доказал Кантор, кардинальное число любого множества меньше кардинального числа его показательного множества (которое обозначается ϑ(A) и включает в себя все подмножества или части A), получается, что |V| < |ϑ(V)|. С другой стороны, из определения V следует, что показательное множество V должно содержаться в V, поскольку V — это абсолютное множество, самое большое, которое включает в себя все остальные, и нет ничего выше него. Поэтому |V| ≥ |ϑ(V)|, что является абсурдом, противоречием по отношению к предыдущему результату.

Эрнст Цермело (1871-1953) был первым математиком, который различил нелогистический выход из лабиринта (не зря он открыл парадокс, подобный парадоксу Рассела): следовало перейти от интуитивной к аксиоматической теории множеств. С 1897 года Цермело находился в Геттингене и выполнял инструкции Гильберта, который воодушевил его сформулировать систему аксиом для теории Кантора. Его вклад в аксиоматический метод теории множеств сравним с вкладом Гильберта в геометрию. В 1908 году Цермело представил первую аксиоматизацию теории множеств, отшлифованную Абрахамом Френкелем (1891-1965) в 1922 году (и фон Нейманом в 1925 году, когда тот включил в нее аксиому регулярности, или основания).

КЛАССЫ И МНОЖЕСТВА

Теория множеств Цермело — Френкеля также исходит из логики первого порядка и принимает отношение принадлежности ϵ в качестве первоначального. Аксиомы ZF, озвученные вербально, следующие.

1. Два множества равны тогда и только тогда, когда они имеют идентичные элементы (аксиома объемности).

2. Существует множество без единого элемента Ǿ.

3. При заданном множестве х и свойстве, которое можно сформулировать на языке первого порядка теории множеств, существует множество всех элементов X, которые удовлетворяют свойству (аксиома выделения).

4. Если x и у — множества, то неупорядоченная пара {х, у} — множество.

5. Объединение множеств во множество — множество.

6. Можно образовать потенциальное множество любого множества, то есть собрание всех подмножеств или частей любого множества — другое множество.

7. Существует как минимум одно бесконечное множество (аксиома бесконечности).

8. Образ множества, заданный функцией, является множеством (аксиома преобразования).