Гиперпространство. Научная одиссея через параллельные миры, дыры во времени и десятое измерение

Несмотря на постоянные болезни, Риман в конечном счёте изменил бытующие представления о значении силы. Ещё со времён Ньютона учёные считали силу мгновенным взаимодействием удалённых друг от друга тел. Физики называли её «дальнодействием», это означало, что некое тело способно оказывать мгновенное влияние на движение удалённых от него тел. Безусловно, ньютонова механика могла описать движение планет. Но на протяжении веков критики утверждали, что «дальнодействие» не является естественным, так как оно означало бы, что одно тело способно менять направление движения другого без соприкосновения с ним.

Риман предложил совершенно новую физическую картину. Ему представилось племя двумерных существ, подобных «книжным червям» Гаусса и живущих на листе бумаги. Но в отличие от Гаусса Риман населил этими «книжными червями» скомканный лист бумаги{11}. Что должны думать такие существа о мире, в котором они живут? Риман сообразил, что, с их точки зрения, этот мир остаётся совершенно плоским. Так как тела этих книжных червей тоже искривлены, они и не замечают, что их мир искажён. Однако Риман утверждал: при попытке переместиться по этому скомканному листу бумаги книжные черви ощутят воздействие таинственной, незримой силы, которая помешает им ползти по прямой. Им придётся отклоняться вправо или влево каждый раз, когда впереди окажется очередная складка листа.

Таким образом, Риман сделал первое за 200 лет значимое отступление от принципов Ньютона, отказался от принципа воздействия на расстоянии. По Риману, сила — следствие геометрии.

Затем Риман заменил двумерный лист бумаги нашим трёхмерным миром, «cмятым» в четвёртом измерении. Деформации нашей Вселенной неочевидны для нас. Но мы сразу почувствуем некий подвох, когда попытаемся идти по прямой. Мы будем двигаться словно во хмелю, как будто незримая сила тянет нас, толкает то вправо, то влево.

Риман пришёл к выводу, что электричество, магнетизм и гравитация вызваны деформацией нашей трёхмерной Вселенной в незримом четвёртом измерении. Таким образом, сила не может существовать самостоятельно и независимо, а представляет собой лишь видимое следствие искажения геометрии пространства. Введя в рассуждения четвёртое пространственное измерение, Риман случайно наткнулся на тему, которая стала одной из господствующих в современной теоретической физике, — явное упрощение законов природы в категориях многомерного пространства. И Риман приступил к работе над математическим языком, пригодным для выражения этой идеи.

Метрический тензор Римана: новая теорема Пифагора

Риману понадобилось несколько месяцев, чтобы оправиться от последствий нервного срыва. Его доклад, наконец прочитанный в 1854 г., приняли с воодушевлением. В ретроспективе это был, бесспорно, один из наиболее выдающихся публичных докладов в истории математики. По Европе быстро распространилось известие, что Риман решительно сбросил оковы евклидовой геометрии, которой математики подчинялись на протяжении двух тысячелетий. О докладе вскоре узнали во всех центрах образования Европы, вклад Римана в математику приветствовали повсюду в научных кругах. Доклад Римана перевели на несколько языков, он произвёл фурор в математике. К евклидовой геометрии раз и навсегда перестали относиться так, как прежде.

Суть выдающегося труда Римана, как и суть многих величайших работ в области физики и математики, уловить довольно просто. Риман начал со знаменитой теоремы Пифагора, одного из важнейших достижений древнегреческих математиков. Эта теорема устанавливает соотношения между длинами сторон прямоугольного треугольника. Согласно ей, сумма квадратов коротких сторон, катетов, равна квадрату длинной стороны, гипотенузы; если a и b — длины катетов, а с — длина гипотенузы, тогда а² + b² = с². (Естественно, теорема Пифагора лежит в основе всей архитектуры; все сооружения на планете построены с её учётом.)

Эту теорему легко сформулировать для трёхмерного пространства. Она гласит, что сумма квадратов трёх смежных сторон куба равна квадрату его диагонали; или если а, b и с — стороны куба, а d — его диагональ, тогда a² + b² + c² = d² (рис. 2.1).

Теперь так же просто можно сформулировать ту же теорему для N-мерного пространства. Представим себе N-мерный куб. Если a, b, c… — длины сторон «гиперкуба», а z — длина его диагонали, тогда a² + b² + c² + d² +… = z². Примечательный момент: хотя наш мозг не в состоянии представить N-мерный куб, формулу для его сторон и диагонали записать несложно. (Это типичная особенность работы с гиперпространством. С математической точки зрения манипулировать N-мерным пространством не труднее, чем трёхмерным пространством. Поразительно, как на простом листе бумаги можно математически описать свойства многомерных объектов, которые не в силах вообразить наш мозг.)