Гюйгенс. Волновая теория света

На первый взгляд довольно произвольное выражение скорости корабля соответствует так называемому центру масс. Это абстрактное понятие, очень полезное для изучения поведения многих физических систем. Для двух тел m₁ и m₂, расположенных в х₁ и х₂, отмечается точка на прямой, соединяющей их. Ее положение х_cm определяется как:

x_cm = (m₁ · x₁ + m₂ · x₂)/(m₁ + m₂).

Центр масс обозначает точку равновесия, на которую можно поставить доску, уравновешивающую оба тела (см. рисунок). Если массы двигаются, то двигаться будет обычно и точка x_cm. Ее скорость будет равна

v_cm = (m₁ · v₁ + m₂ · v₂)/(m₁ + m₂).

Поменяв знак v₂, чтобы показать, что эта масса начинает двигаться влево, мы получим выражение для скорости корабля, который, следовательно, находится в центре масс — наилучшем месте, чтобы наблюдать симметрию столкновения. Учитывая закон сохранения момента, мы получаем, что столкновение не меняется при изменении скорости центра масс.

Мы можем подробнее рассмотреть, как меняются скорости для наблюдателей, находящихся на корабле и на берегу. Возьмем переменные V_1ba (скорость массы m₁, какой она кажется с корабля до столкновения), V_2ba (скорость массы m₂ с корабля до столкновения), V_1oa (скорость массы m_v какой она кажется с берега до столкновения), v_2oa (скорость массы m₂ с берега до столкновения) и V_b (скорость корабля). Для O_b до столкновения скорости тел равны:

V_1ba = V_1oa - V_b = V₁ - (m₁ · V₁ - m₂ · V₂)/(m₁ + m₂) = (m₂ · (V₁ + V₂))/(m₁ + m₂) ,

V_2ba = V_2oa - V_b = -V₂ - (m₁ · V₁ - m₂ · V₂)/(m₁ + m₂) = (m₁ · (V₁ + V₂))/(m₁ + m₂).

Из этого выражения можно получить один из ключей симметрии в центре масс: в нем оба тела имеют одинаковый момент (m₁· V1_ba = m₂· V_2ba). После столкновения направления меняются, то есть:

V_1bd = -(m₂ · (V₁ + V₂))/(m₁ + m₂), V_2bd = (m₁ · (V₁ + V₂))/(m₁ + m₂),

где индекс d теперь заменяет а, обозначая, что это скорости после столкновения. Чтобы получить скорость с берега, достаточно убрать первое изменение:

V_1od = V_1bd + V_b = -(m₂ · (V₁ + V₂))/(m₁ + m₂) + (m₁ · V₁ - m₂ · V₂)/(m₁ + m₂) =

- ((m₂ - m₁) · V₁ + 2 · m₂ · V₂)/(m₁ + m₂),

V_2od = V_2bd + V_b = (m₁ · (V₁ + V₂))/(m₁ + m₂) + (m₁ · V₁ - m₂ · V₂)/(m₁ + m₂) =

- (2 · m₁ · V₁ + (m₁ - m₂) · V₂)/(m₁ + m₂)

От внимательного взгляда Гюйгенса не ускользнули две новые симметрии. Хотя при столкновении скорости тел меняются, есть величины, которые остаются неизменными. Прежде всего это масса, а также сумма произведений каждой массы и ее скорости (момента) до и после столкновения. То есть:

m₁ · υ_1до + m₂ · υ_2до = m₁ · υ_1после + m₂ · υ_2после

p_1до + p_2до = p_1после + p_2после.

Эту симметрию можно наблюдать и в других физических ситуациях. Обобщая, мы можем сказать, что она является одним из столпов физики — законом сохранения углового момента. Гюйгенс отметил наличие еще одной величины — суммы произведения каждой массы на квадрат ее скорости до и после столкновения:

m₁ · υ₁²_до + m₂ · υ₂²_до = m₁ · υ₁²_после + m₂ · υ₂²_после