Головоломки. Выпуск 2

10. Темных пятен никто не делал, и в действительности их нет. Мы видим их только из-за обмана зрения.

Задачи о часах

1. Когда стрелки встречаются?

В 12 часов одна стрелка совпадает с другой. Но вы замечали, вероятно, что это не единственный момент, когда стрелки часов встречаются: они настигают друг друга в течение дня несколько раз.

Можете ли вы указать все те моменты, когда это случается?

Рис. 1

2. Когда стрелки направлены врозь?

В 6 часов, наоборот, стрелки направлены в противоположные стороны. Но только ли в 6 часов это бывает или есть и другие моменты, когда стрелки так расположены?

3. В котором часу?

В котором часу минутная стрелка опережает часовую ровно на столько, на сколько часовая не доходит до числа 2 на циферблате (рис. 2)? А может быть, таких моментов бывает несколько за день? Или ни одного?

Рис. 2

Рис. 3

4. Наоборот

Если вы внимательно наблюдали за часами, то, быть может, вам случалось видеть и обратное расположение стрелок: часовая стрелка опережает минутную на столько же, на сколько минутная продвинулась вперед от числа 12 (рис. 3). Когда это бывает?

5. По обе стороны от шести

Я взглянул на часы и заметил, что стрелки находятся по обе стороны от цифры 6 и отстоят от нее одинаково. В котором часу это было?

Рис. 4

6. Три и семь

Часы бьют три, т. е. делают три удара, и пока они бьют, проходят три секунды. За сколько времени часы пробьют семь?

На всякий случай предупреждаю, что эта задача – не шутка и никакой ловушки здесь нет.

7. Часы-компас

Теперь за границей не редкость карманные часы, циферблат которых разделен не на 12, а на 24 части, с обозначением от 1 до 24 часов. Часовая стрелка таких часов описывает полный круг не за 12, а за 24 часа (рис. 5).

Такие часы можно в ясные дни использовать как компас.

Каким образом?

Рис. 5

8. О том же

Нельзя ли, за неимением компаса, воспользоваться нашими обыкновенными карманными часами, чтобы в ясный день определять по ним, хотя бы приблизительно, стороны света?

9. Цифра шесть

Спросите кого-нибудь из ваших знакомых постарше, как давно он обладает карманными часами. Положим, окажется, что часы у него уже 15 лет. Продолжайте тогда разговор примерно в таком духе:

– А сколько раз в день вы обычно смотрите на свои часы?

– Раз двадцать, вероятно, или около того, – последует ответ.

– Значит, в течение года вы смотрите на свои часы не менее 6000 раз, а за 15 лет видели их циферблат 6000 × 15, т. е. чуть ли не сто тысяч раз. Вы, конечно, знаете и отлично помните вещь, которую видели сто тысяч раз?

– Ну, разумеется!

– Вам поэтому прекрасно должен быть известен циферблат ваших карманных часов, и вы не затруднитесь изобразить на память, как обозначена на нем цифра шесть.

И вы предлагаете собеседнику бумажку и карандаш.

Он исполняет вашу просьбу, но… изображает цифру шесть в большинстве случает совсем не так, как она обозначена на его часах.

Почему? Ответьте на этот вопрос, не глядя на ваши карманные часы.

10. Тиканье часов

Положите свои карманные часы на стол, отойдите шага на три или четыре и прислушайтесь к их тиканью. Если в комнате достаточно тихо, то вы услышите, что ваши часы идут словно с перерывами: то тикают короткое время, то на несколько секунд замолкают, то снова начинают идти и т. д.

Чем объясняется такой неравномерный ход?

Решения задач 1-10

1. Начнем наблюдать за движением стрелок в 12 часов. В этот момент одна стрелка покрывает другую. Так как часовая стрелка движется в 12 раз медленнее минутной (она описывает полный круг за 12 ч, а минутная за 14 ч), то в течение ближайшего часа стрелки, конечно, встретиться не могут. Но вот прошел час; часовая стрелка стоит у цифры 1, сделав ¹/₁₂ долю полного оборота; минутная же сделала полный оборот и стоит у 12 – на ¹/₁₂ долю круга позади часовой. Теперь условия состязания иные, чем раньше: часовая стрелка движется медленнее минутной, но она впереди, и минутная должна ее догнать. Если бы состязание длилось целый час, то за это время минутная стрелка прошла бы полный круг, а часовая – ¹/₁₂ круга» т. е. минутная сделала бы на ¹/₁₂ круга больше. Но чтобы догнать часовую стрелку, минутной нужно пройти больше, чем часовой, только на ту ¹/₁₂ долю круга, которая их отделяет. Для этого потребуется времени не целый час, а меньше во столько раз, во сколько ¹/₁₂ меньше ¹/₁₁ т. е. в 11 раз. Значит, стрелки встретятся через ¹/₁₁ ч, т. е. через 60/11 = ⁵/₁₁ мин.

Итак, встреча стрелок случится спустя 5¹/₁₁ мин после часа дня, т. е. в 5¹/₁₁ мин второго.

Когда же произойдет следующая встреча?