Готовые дидактические материалы для тренировки устного счета: теорема Виета. 600 примеров

Дмитрий Усенков Готовые дидактические материалы для тренировки устного счета: теорема Виета. 600 примеров

Предисловие

Теорема Виета, сформулированная французским математиком Франсуа Виетом, дает возможность в отдельных случаях (для целых и, иногда, для дробных значений корней) быстро находить решения квадратных уравнений, не прибегая к вычислениям с использованием дискриминанта. В школьной алгебре теорема Виета (формула Виета) играет такую же ведущую роль, как и теорема Пифагора в геометрии, однако учебно-методических материалов для отработки навыков поиска корней по формуле Виета имеется крайне мало.

Данное пособие призвано хотя бы частично устранить этот дефицит и содержит 600 готовых примеров квадратных уравнений с целыми корнями, а также ответы на эти примеры для проверки и самоконтроля.

При использовании в классно-урочной форме работы учитель может использовать текст пособия в качестве готового раздаточного материала, а после выполнения работы учащимися произвести проверку по имеющимся готовым ответам.

При использовании пособия для самостоятельной подготовки вы можете использовать ответы для самопроверки после решения выбранных примеров.

Ответы записаны в форме разложения квадратного уравнения на множители; если требуется получить значения самих корней, то нужно константные слагаемые в скобках брать с противоположными знаками.

Примечание. При использовании формулы Виета дискриминант квадратного уравнения должен быть неотрицательным. В случае, если дискриминант равен нулю, считается, что данное уравнение имеет два равных друг другу корня.

Теорема Виета (краткие теоретические сведения)

Формулировка теоремы Виета:

Сумма корней x² + bx + c = 0 равна второму коэффициенту с противоположным знаком, а произведение корней равняется свободному члену.

Таким образом, если уравнение x² + bx + c = 0 имеет два корня: x₁ и x₂, то справедливы следующие два равенства:

Согласно этим равенствам, для получения решения квадратного уравнения необходимо подбором найти два числа, сумма которых равна коэффициенту при x, взятому с обратным знаком, а произведение равно свободному члену. Следует заметить, что при этом исходное квадратное уравнение должно быть приведено к виду, когда коэффициент a при x² равен единице.

Доказательство теоремы Виета

Докажем теорему Виета.

Формулы для вычисления корней квадратного уравнения (рассматривается ситуация, когда дискриминант D положителен; уравнение с нулевым дискриминантом можно считать частным случаем):

Вычислим сумму этих корней:

Раскрыв скобки и сократив слагаемые, получаем:

.

Вычислим произведение корней:

Применив в числителе формулу разности квадратов, получаем:

Подставляем известную нам формулу для вычисления дискриминанта:

Получаем:

Таким образом, оба равенства теоремы Виета доказаны.

Обратная теорема Виета

Формулировка обратной теоремы Виета:

Если числа x₁ и x₂ таковы, что их сумма равна второму коэффициенту уравнения x² + bx + c = 0, взятому с противоположным знаком, а их произведение равно свободному члену, то эти числа являются корнями x² + bx + c = 0.

Доказательство обратной теоремы Виета читатели могут произвести самостоятельно.

Задания для самостоятельного решения

1. x² – 28x + 171 = 0

2.      x² + 8x – 180 = 0

3.      x² – 10x – 75 = 0

4.      x² + 22x + 72 = 0

5.      x² + 0x – 289 = 0

6.      x² – 6x – 160 = 0

7.      x² + 1x – 30 = 0

8.      x² – 2x – 120 = 0

9.      x² – 14x + 40 = 0

10.      x² + 7x – 18 = 0

11.      x² – 6x – 160 = 0

12.      x² + 3x – 10 = 0

13.      x² + 6x – 7 = 0

14.      x² – 20x + 19 = 0

15.      x² + 5x – 50 = 0

16.      x² – 8x – 9 = 0

17.      x² – 17x – 38 = 0

18.      x² + 7x + 6 = 0

19.      x² + 17x + 30 = 0

20.      x² – 28x + 160 = 0

21.      x² + 30x + 221 = 0

22.      x² + 0x – 16 = 0

23.      x² – 2x – 120 = 0

24.      x² + 4x – 77 = 0

25.      x² + 14x + 45 = 0

26.      x² + 19x + 18 = 0

27.      x² – 23x + 102 = 0

28.      x² + 9x – 90 = 0

29.      x² + 9x – 220 = 0

30.      x² – 5x – 126 = 0

31.      x² – 25x + 136 = 0

32.      x² – 20x + 19 = 0

33.      x² – 1x – 132 = 0

34.      x² – 17x + 60 = 0

35.      x² + 6x – 7 = 0

36.      x² + 15x + 36 = 0

37.      x² + 1x – 240 = 0

38.      x² – 12x + 27 = 0

39.      x² – 6x – 135 = 0

40.      x² – 19x + 70 = 0

41.      x² + 9x – 22 = 0

42.      x² + 3x – 10 = 0

43.      x² + 20x + 84 = 0

44.      x² – 9x – 10 = 0

45.      x² + 17x + 52 = 0

46.      x² – 13x – 114 = 0

47.      x² + 3x – 88 = 0

48.      x² + 33x + 260 = 0

49.      x² – 12x + 36 = 0

50.      x² – 17x + 0 = 0

51.      x² + 25x + 136 = 0

52.      x² – 18x + 81 = 0

53.      x² – 9x – 90 = 0

54.      x² + 23x + 60 = 0

55.      x² + 25x + 136 = 0

56.      x² – 15x + 50 = 0

57.      x² + 14x – 120 = 0

58.      x² + 5x – 126 = 0

59.      x² – 7x – 120 = 0

60.      x² + 12x – 45 = 0

61.      x² + 26x + 160 = 0

62.      x² + 27x + 162 = 0

63.      x² + 1x – 30 = 0