Говорите и пишите по-русски правильно

И всё же в предлоге благодаря в достаточно большой мере сохраняется его исконное значение («благодарности»). А потому лучше сказать: Ученик не пришёл в школу вследствие (по причине, из-за) смерти матери.

Что в лоб, что по лбу

Если поговорку Что в лоб, что по лбу толковать буквально, то никакой разницы между содержанием первой и второй её частей мы не усматриваем. И всё же небольшая разница есть.

Сопоставим похожие словосочетания глядеть в небо и глядеть на небо. При всей близости их значения находим и оттенок различия: глядеть в небо значит «смотреть в одну точку», а глядеть на небо — «смотреть на всю поверхность пространства». Рассуждая по аналогии, выясним, что в лоб значит «в одну точку» (ударил пальцем в лоб), а по лбу — «по всей поверхности» (ударил себя рукой по лбу).

Оттенки различия находим и в других близких по общему значению предложных словосочетаниях. Сравним наиболее часто употребляемые сочетания.

Гулять в лесу — обозначается действие ограниченное — «гулять на определённом участке леса», а гулять по лесу — обозначается действие, «разбросанное» в пределах названного пространства.

Ездить в города — указывается на направление действия, а синонимическое сочетание ездить по городам имеет распределительное значение (действие распределяется на объекты последовательно один за другим).

Идти по берегу — указывается место движения, а идти вдоль берега — определяется направление движения на пространстве, вытянутом в линию.

Картины развешаны на стенах — указано только на место, где висят картины, а если говорится, что картины развешаны по стенам, то выражается добавочное значение распространения действия по всей поверхности предмета.

Туман поднимался от земли — указывается только направление движения (туман мог не касаться земли), а если сообщается, что туман поднимался с земли, то обращается внимание на место, откуда началось движение.

Спускаться с лестницы значит «двигаться от верхней до нижней ступеньки», а спускаться по лестнице значит «двигаться по поверхности предмета» (может быть, с середины лестничного пролёта).

В последнее время — обозначается определённый момент, а за последнее время — указывается на какой-то отрезок времени.

Положение изменилось с приездом отца — указывается на непосредственные последствия (сразу же за этим событием), а если положение изменилось после приезда отца, то речь может идти и о более отдалённых последствиях (спустя некоторое время).

Навещали в праздники — навещали по праздникам — второе словосочетание содержит дополнительный оттенок значения, указывая на регулярность повторения действия в определённые сроки.

За цветами — и по грибы

Различие между синонимическими предложными сочетаниями может носить не смысловой, а стилистический характер.

Так, выражения идти по воду, ходить по грибы присущи просторечию (сравните нейтральные: идти за водой, ходить за грибами). Они могут использоваться в художественной литературе: Весной ходят девушки в рощу по ландыши, летом — по ягоды (В. Панова). 

В синонимических сочетаниях по окончании спектакля — после окончания спектакля, по приезде в город — после приезда в город первый вариант в каждой паре имеет книжный характер.

В синонимических сочетаниях прошёл с километр — прошёл около километра, на выполнение работы понадобится с месяц — на выполнение работы понадобится около месяца первый вариант (в нём предлог с использован для приблизительного указания отрезка пространства или времени) имеет разговорный характер.

Сочетание чуть не умер с голоду употребляется исключительно в разговорной речи, а сочетание чуть не умер от голода — стилистически нейтральное.

Сочетание детей набралось около сотни — стилистически нейтральное, а синонимическое ему сочетание детей набралось до сотни имеет разговорный оттенок.

Сочетание стал болеть к старости — стилистически нейтральное, а стал болеть под старость — разговорное.