Григорий Перельман и гипотеза Пуанкаре

Чтобы вникнуть в философскую подоплеку математических проблем, которыми занимался Пуанкаре, прислушаемся к комментариям его современного коллеги Морриса Клайна, также во многом исповедующего конвенционализм. Так, профессор Клайн считает, что роль математики в современной физике несравненно шире, чем просто удобного инструмента исследования. Под этой ролью часто понимают обобщение и систематизацию (в символах и формулах) явлений, наблюдаемых и устанавливаемых с помощью физического эксперимента, и последующее извлечение из формул дополнительной информации, не обнаруживаемой ни наблюдением, ни экспериментом и не вытекающей из непосредственно полученных данных. Однако такое толкование роли математики далеко не исчерпывает всех ее достижений. Математика составляет сущность естественнонаучных теорий, и ее приложения в XIX и XX веках на основе чисто математических конструкций представляются нам еще более удивительными, чем все ее прежние успехи, достигнутые в эпоху, когда математики оперировали понятиями, навеянными непосредственно физическими явлениями. Тем не менее было бы неверно приписывать одной лишь математике такие достижения современной науки, как радиоэлектроника, аэрокосмическая индустрии, ядерная энергетика, да и, по сути, вся инженерно-техническая физика. Вклад математики более фундаментален и существенен, чем вклад экспериментальной науки.

Вообще, в своих рассуждениях Моррис Клайн настойчиво выдвигает тезис, что независимо от того, насколько приемлемы объяснения эффективности математики, есть основания утверждать, что новая физика — это наука не столько

-19-

механическая, сколько математическая. Здесь профессор Клайн приводит наглядный пример: хотя Максвелл при создании теории электромагнитного поля пытался изобрести механическую модель эфира, в своем окончательном виде его теория была, в сущности, математической; «физическая реальность», которую описывают уравнения Максвелла, представляют собой смутное, «бесплотное» понятие электромагнитного поля. Даже Ньютон построил свои законы движения как чисто математическую структуру.

Возможно ли, что знанием математических соотношений и структур исчерпывается фундаментальное содержание физической науки? Тогда надо считать, что математическое описание Вселенной и есть окончательная реальность!

Между тем любые модельные представления, используемые для большей наглядности, так или иначе будут представлять собой отступление от физической реальности окружающего Мира. Получается, что за пределы математических формул мы каждый раз выходим на свой страх и риск!

-20-

Гл. 1 Великий метафизик

«Самый важный факт состоит в том, что все рисуемые наукой картины природы, которые только могут находиться в согласии с данными наблюдений, — картины математические… Природа, по-видимому, очень "хорошо осведомлена" о правилах чистой математики… Во всяком случае, вряд ли можно усомниться в том, что природа и наши сознательные математические умы действуют по одним и тем же законам».

Джеймс Джине. Загадочная Вселенная

Рис. 7. Пуанкаре в молодости

«Опыт играет необходимую роль в происхождении геометрии; но было бы ошибкой заключить, что геометрия — хотя бы отчасти — является экспериментальной наукой.

Если бы она была экспериментальной наукой, она имела бы только временное, приближенное — и весьма грубо приближенное — значение. Она была бы только наукой о движении твердых тел. Но на самом деле она не занимается

-21-

реальными твердыми телами; она имеет своим предметом некие идеальные тела, абсолютно неизменные, которые являются только упрощенным и очень отдаленным отображением реальных тел.

Понятие об этих идеальных телах целиком извлечено нами из недр нашего духа, и опыт представляет только повод, побуждающий нас его использовать…»

А. Пуанкаре. Наука и метод