...И мир загадочный за занавесом цифр. Цифровая связь

Вы правы, читатель. У вавилонян и индейцев-майя существовал позиционный принцип записи чисел. Напомним, что в арифметике майя одно и то же число, записанное в первом и во втором разрядах, отличалось одно от другого в 20 раз (т. е. в число раз, равное основанию системы); у вавилонян же прямой "клин" мог означать и 1, и числа, кратные 60, а одинаковые числа, помещенные в разные разряды, отличались в 60, 60²,60³ и т. п. число раз.

Более того, в 1665 г. французский математик Б. Паскаль показал, что за основание системы счисления можно принять любое число, а это значит, что каждое число можно представлять в виде комбинации степеней не числа 10, а какого-либо другого целого числа. Выберем, например, число 7:

М = а_n•7ⁿ + а_n-1•7^n-1 + а₁•7 + a₀

Ясно, что значения коэффициентов а₀а₁….,a_n должны теперь быть не больше нового основания, т. е. 7: они могут принимать значения от 0 до 6.

Представим число 777 в семеричной системе, используя принцип последовательного деления его на основание этой системы:

В результате число 777₁₀ — так оно записано в десятичной системе — можно разложить по степеням основания 7:

(777)₁₀ = 2•7³ + 1•7² + 6•7 + 0.

Если опустить степени числа 7, как мы делаем при записи чисел в десятичной системе, то получим семеричную запись этого числа: (2 160)₇. Здесь цифра 7 в индексе указывает основание системы.

Действуя аналогичным образом, убедимся, что основание привычной для нас десятичной системы — теперь нам придется писать 10₁₀ — будет изображаться в новой для нас семеричной системе как (13)₇. Число (147)₁₀ будет в этой системе "круглым" и равным (300)₇. Точно так же (343)₁₀ = (1 000)₇,т. е. и это число "круглое". Само основание семеричной системы (7)₁₀ запишется символом (10)₇.

Возможно, если бы у человека на руках было не десять, а семь пальцев, то мы бы считали сейчас не десятками, а семерками, и более привычной нам казалась бы семеричная система счисления, в которой сложение выполняется знакомым нам "столбиком" (с переносом единицы в старший разряд, если сумма больше 6), а таблица умножения — даже проще, чем наша.

— Но ведь тогда, — воскликнет все тот же дотошный читатель, — естественно предположить, что до того, как человек пришел к десятичному счислению, он пользовался при счете пальцами одной руки, значит, могло возникнуть и распространиться пятиричное счисление. Догадка не лишена оснований.

В пятиричной позиционной системе всего пять цифр: 0, 1, 2, 3, 4. В ней число 777 будет представляться количеством "пятерок", "двадцатипяток" и т. д.:

(777)₁₀ = 1•5⁴ + 1•5³ + 1•5² + 0•5 + 2 = (11 102)₅.

Когда-то пятиричным счислением пользовались (т. е. считали "пятерками") многие народы. Следы этой системы сохранились в римской нумерации: в ней кроме знаков для единицы, десяти, ста, тысячи есть специальные знаки для пяти (V), пятидесяти (L) и пятисот (D).

Еще один след счета "пятерками" можно найти в записи чисел у индейцев племени ацтеков, населявших в XI–XVI вв. территорию Мексики. Единицу они обозначали точкой, двойку — двумя точками и т. д. до пяти. В запись числа 6 входила вертикальная черта, отделявшая пять первых точек от шестой. Ясно, что здесь счет велся группами по пять предметов. Черта отделяла одну такую группу от другой, причем сама черта никакого числа не обозначала.

Вот как описывает счет "пятерками" у жителей Новой Гвинеи известный русский путешественник Н.Н. Миклухо-Маклай:

"Папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает определенный звук, например бе, бе, бе…. Досчитав до пяти, он говорит ибон-бе (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет бе, бе…, пока не доходит до ибон-али (две руки). Затем он идет дальше, приговаривая бе, бе…, пока не доходит до самба-бе и самба-али (одна нога, две ноги). Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого".

Если же теперь наш настойчивый читатель сумеет пересчитать большим пальцем левой руки суставы оставшихся четырех пальцев, то, несомненно, заподозрит существование когда-то на заре человечества и двенадцатеричной системы счисления. Он и тут не ошибется! Так, короадосы Бразилии считают по числу суставов на каждом пальце левой руки (без большого) до 12, затем каждый палец правой руки (включая большой) означает 12. Двенадцатеричная система встречается у некоторых племен Центральной Америки.

Еще не так давно был распространен счет по дюжинам (т. е. число 12), дюжинам дюжин — "гроссам", дюжинам гроссов — "массам" для белья, посуды, писчебумажных товаров. Дома у нас сервизы содержат по 12 чашек, 12 блюдец, 12 тарелок.

О широком распространении двенадцатеричной системы свидетельствуют такие факты: мы до сих пор делим год на 12 месяцев; у англичан в системе мер 1 фут равен 12 дюймам, а в денежной системе 1 шиллинг равен 12 пенсам. Число 12 часто встречается также в сказках и легендах (12-главый змей, 12 братьев-разбойников), что говорит о древнем происхождении этой системы счисления.