Он забрал документы из художественного училища, полгода проучился в вечерней школе, чтобы получить аттестат зрелости, и в 1967 году поступил в Щукинское училище. В «Щуке» его наставником стал известный актер и педагог Юрий Васильевич Катин-Ярцев. Это были годы расцвета Щукинского училища. В середине 60-х там обучались Никита Михалков, Александр Кайдановский, Леонид Филатов, Владимир Качан, Константин Райкин. Леонид Филатов так отзывался о Юре: «Он и раньше был эрудитом-книгочеем, очень много знал того, чего обычно не знают студенты. А во время учебы он постоянно пополнял свой интеллектуальный багаж. К тому же он был завсегдатаем кинотеатра „Иллюзион“ (что требовало достаточного мужества — в те годы туда было очень непросто попасть), писал дневники… Словом, весьма разносторонняя личность…»
В годы учебы Юра по приглашению Кости Райкина полтора года жил в квартире великого актера Аркадия Исааковича Райкина, потом примерно столько же времени — у художника и сценариста Александра Адабашьяна. «Юра, — вспоминал Адабашьян, — был человеком далеко не глупым, образованным, начитанным, что, в общем, в театральной среде вещь не очень частая. Он регулярно и очень много занимался. Читал книги — и из нашей библиотеки, и из своей (у его родителей в Красногорске было очень неплохое собрание книг). Часть из них он таскал с собой по всем квартирам, где он жил. Причем у него были очень хорошие, дорогие книги по искусству. Он тратил много денег именно на это. Книги и альбомы доставляли ему огромное удовольствие. И он очень много их дарил».
Еще в училище он начал сниматься в кино. «На самостоятельные курсовые и дипломные работы студентов, — рассказывал Богатырев, — всегда приходили бывшие студенты. Помню, мы играли тогда пьесу-мистификацию Леонида Филатова, который учился на два курса старше. После просмотра пришел за кулисы Никита Михалков и сказал: „Старик, нам надо с тобой работать“ (он еще был студентом режиссерского факультета ВГИКа). Сказал — и слово свое сдержал. В 1969 году Никита начал снимать свой дипломный фильм „Спокойный день в конце войны“ по сценарию Ибрагимбекова и пригласил меня на небольшую роль».
В 1971 году, после окончания Щукинского училища, Юру взяли в «Современник». В театре его актерская судьба поначалу складывалась не очень успешно. Он долго не получал серьезных ролей и ужасно переживал по этому поводу. Со временем дело наладилось, он стал много играть, его лучшими ролями стали герцог Орсино в «Двенадцатой ночи» по Шекспиру и Марк в пьесе Виктора Розова «Вечно живые». У Юрия появились свои благодарные зрители, преданные поклонницы, которые были в восторге от него. Богатырев был очень этому рад, но в то же время и опасался этого: «Зритель, полюбив артиста за какую-то удачно сыгранную роль, хочет вновь и вновь видеть своего любимца в том же амплуа и характере. И все же артист не должен опускаться до уровня массового спроса».