Институты и путь к современной экономике

Теорема IV.4

Предположим, что ƒ – вогнутая функция. Рассмотрим стратегии, при которых город в каждый период сотрудничает только с теми торговцами, которых он никогда не обманывал, а каждый торговец берется торговать только в том случае, если он никогда не был раньше обманут. Эти стратегии образуют совершенное в подыгре равновесие игры 1, когда объем торговцев х, а налоги составляют т тогда и только тогда, когда для всех у выполняется y ≤ x.

0 ≥ cf(y) − γ(τ − c)yf ’(y). (5)

Достаточным условием будет 0 ≥ cf(x

) − γ(τ − c) xf ’(x), а коэффициент эластичности e(x) = dℓnf(x)/dℓn(x) – убывающая функция от х.

Доказательство

Очевидно, стратегии торговцев являются наилучшими реакциями на стратегию города в любой точке в истории игры, поэтому только оптимальность стратегии города требует доказательства. Начиная с количества х присутствующих торговцев, рассмотрим подыгру, получаемую после того, как х – у торговцев покинуло город, когда y ≤ x торговцев осталось. Обманывая часть ∈ от количества у присутствовавших торговцев, город получит выигрыш g(∈; y) = (τ − [1 − ∈]c)f(y) + γf(y[1 − ∈])(τ − c). Необходимым условием оптимальности ∈ = 0 будет ∂g

(∈; y)/∂ ∈ ≤0 при∈ = 0. Простой расчет позволяет проверить, что это то же самое, что и условие 5, поэтому последнее условие является необходимым для всех у.

Согласно принципу оптимальности динамического программирования, достаточно показать, что с учетом стратегий остальных нет подыгры, в которой город выиграет больше, установив ∈ > 0 в начальный период, а затем следуя стратегии равновесия. Если f – вогнутая функция, тогда для всех у функция g(∈;y) – вогнутая по ∈, поэтому достаточное условие состоит в том, что для всех у, ∂g(∈;y)/∂ ∈ ≤0 при∈ = 0, а это снова эквивалентно условию 5, доказывая достаточность.

Коэффициент эластичности может быть представлен как e(x) = xf ’(x)/f(x

). Условие 5 заключается в том, что e(y) ≥ c/[γ (τ − c)] для всех y ≤ x, это следует из e(x) ≥ c/[γ (τ − c)] и гипотезы о том, что e(·) является убывающей функцией. Что и требовалось доказать.

Пусть х' – самое большее решение для условия 5. Равновесие, описываемое теоремой IV.4, указывает на интересное толкование уровней торговли х', наблюдаемых во время бойкотов. Оно объясняет, почему одни торговцы продолжали торговать, а другие – нет. Согласно этой теории, дополнительные, сверх числа х', торговцы будут обмануты городом и не смогут потребовать возмещения своих убытков. И наоборот: если кто-то думает, что уровень торговли x < х* во время эмбарго определяется фактором, лежащим за пределами этой модели (например, существованием альянсов или других интересов), тогда из условия 5 следует, что минимальная ставка налога, которая может воспрепятствовать обману, ниже, чем самый низкий уровень х. Это подтверждает догадку, что нарушитель эмбарго может договориться о необычайно привлекательной сделке. Тому есть две причины: во-первых, ценность торговли в расчете на одного торговца (f(x)/x) выше, когда х – небольшой; во-вторых, минимальная ставка налога т, необходимая для предотвращения обмана, ниже при небольшом х.