Ипотека и уравнения

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Геометрическая прогрессия — одна из простейших последовательностей, то есть это упорядоченное множество чисел, значение определенного члена которого можно вычислить с помощью математической формулы с переменной, указывающей место этого члена в последовательности.

Указанная формула задает общий член последовательности. Как правило, это функция а_n = f(n), где n — порядковый номер члена последовательности.

Существуют другие последовательности, члены которых можно вычислить с помощью формулы, в которой фигурируют один или несколько предшествующих членов: например, последовательность Фибоначчи 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 в которой каждый член является суммой двух предыду щих, или последовательность, общий член которой выражается формулой а_n = n + а_n-1; a₁ = 3 (членами этой последовательности являются 3, 5, 8, 12, 17, 23…).

В каждой последовательности необходимо указывать значение начального члена (или членов) и их количество (если последовательность является ограниченной). Если последовательность содержит бесконечное число членов, ее можно продолжать сколь угодно долго, вычисляя значения новых членов по формуле общего члена. Существуют возрастающие последовательности (значения их членов последовательно увеличиваются) и убывающие (значения их членов последовательно уменьшаются), которые могут быть ограниченными или неограниченными.

Последовательности широко используются в финансовой математике. Например, последовательность, члены которой обозначают сумму простых процентов, которые должны быть уплачены ежегодно при начальном капитале, равном 1, и процентной ставке, равной 20 %, выглядит так: 1; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8; 2,0; 2,2;… Это неограниченная возрастающая последовательность, общий член которой выражается формулой a_n = 1 + 0,2∙n.

Последовательность, члены которой обозначают сумму сложных процентов, которые должны быть уплачены ежегодно при начальном капитале, равном 1, и процентной ставке, равной 20 %, выглядит так: 1; 1,2²; 1,2³; 1,2⁴;… Это неограниченная возрастающая последовательность, общий член которой выражается формулой а_n = (1 + 0,2)ⁿ.

Последовательность 21, 23, 25, 27, 29, 31, … - это неограниченная возрастающая последовательность, общий член которой выражается формулой а_n  = 21 + 2(n — 1); a₁ = 21.

Последовательность 1, 5, 25, 125, 625, 3125, … - это неограниченная возрастающая последовательность, общий член которой выражается формулой a_n = 5 ^n-1; а₁ = 1.

Последовательность 1, 1/3, 1/5, 1/7, 1/9… - это неограниченная убывающая последовательность, общий член которой может быть найден по формуле а_n = 1/(2n — 1); a₁ = 1

Наконец, 1, 1/7, 1/49, 1/343, 1/2401, неограниченная убывающая последовательность, общий член которой выражается формулой а_n = 1/(7^n-1); а₁ = 1.