Искусство большего. Как математика создала цивилизацию

Значительная часть папируса Ринда, по сути, представляет собой введение в науку о дробях. Возможно, вы удивитесь, узнав, что дроби изобрели не чтобы пытать школьников, а чтобы управлять экономикой. Цивилизации, которой нужно было знать, сколько зерна содержится в цилиндрическом хранилище, и выполнять волю правительства при разделе земли, распределении продовольствия и оплате труда, целых чисел – тех, что нам уже знакомы, – было недостаточно.

С помощью целых чисел наш мозг соотносит объекты окружающей среды с абстрактными понятиями “единицы”, “двойки” и так далее, и именно ими мы оперируем, когда считаем на пальцах (которые, если нам повезло, существуют также в виртуальной форме у нас в голове). Дроби – дело другое. Это способ делить целые числа, сравнивая одно с другим. И возни с ними немало: идея о том, что целые числа делятся на части, – ужасающий скачок вперед для мозга, который не был приспособлен в рамках эволюции представлять такие вещи.

Если в школе дроби вам никак не давались, вы совсем не одиноки. Хорошую компанию вам, например, составил бы Леонардо да Винчи. Несмотря на свои великие достижения в искусстве, инженерии и астрономии, он совершенно не умел работать с дробями[19]. Его записи показывают, что он ошибался всякий раз, когда ему приходилось перемножать их или делить. Так, он просто не мог поверить, что частное при делении на дробь величиной меньше единицы (например, на 2/3) оказывается больше делимого[20].

Да Винчи, несомненно, пришлось бы туго в вашей школе. По программе американские школьники должны овладеть дробями к 12–13 годам и научиться, например, расставлять по возрастанию дроби 1/2, 5/9 и 2/7. А вам такое по плечу? Большинству 12- и 13-летних школьников это не под силу.

Вот другой пример: какое из чисел – 1, 2, 19 или 21 – ближе к сумме 12/13 и 7/8? Три четверти 12- и 13-летних американских школьников дают неверный ответ[21]. Самая распространенная ошибка – складывать числители и знаменатели (верхние и нижние числа) по отдельности, то есть обращаться с ними как с натуральными числами. Удивляться здесь нечему, ведь именно этому вас и учили до сих пор. Вместо этого вам нужно либо давать этим числам приблизительную оценку (и 12/13, и 7/8 близки к 1, поэтому их сумма будет близка к 2), либо приводить дроби к общему знаменателю и затем складывать друг с другом скорректированные числители. Стоит задуматься об этом, как дроби сразу кажутся чем-то жутким и беспощадным. Мы уже знаем, что умение работать с натуральными числами далось человечеству большими стараниями, но в случае с дробями все эти навыки приходится отправлять на помойку[22].

Сколько бы сложностей с ними ни возникало, цивилизация за цивилизацией понимала, что дроби стоят того, чтобы над ними попотеть. Вавилоняне осознали это первыми, около 2000 года до нашей эры, а за ними последовали древние египтяне, индусы, греки и китайцы. А это значит, если я не ошибся в расчетах, что вид, который живет на Земле уже 300 тысяч лет, применяет дроби (по очень грубой оценке) на протяжении лишь последней сотой части своего существования. Если вы еще не убедились в том, что даже в базовой математике нет ничего естественного и безусловного, то вот вам доказательство.

Дело в том, что ведение учета невозможно без двух других математических инноваций: отрицательных чисел и понятия нуля. И хотя сегодня они общеприняты и кажутся простыми, обе идеи поначалу вызывали споры, а потому сегодняшнее положение они смогли занять лишь через несколько сотен лет после своего появления.

Необходимость в отрицательных числах

Странно понимать, что мы тысячелетиями производили вычитание, хотя никто не мог ответить на вопрос “Сколько будет 1 минус 2?”. Но виноват в этом опять же наш мозг. Мы просто не можем представить себе минус одно яблоко, поэтому нам нечего и надеяться на врожденное понимание отрицательных чисел. Они стали еще одним огромным скачком, еще одной концепцией, которую человеку пришлось создать с нуля. Однако, как и дроби, отрицательные числа оказались слишком полезными, чтобы их не изобрести.