Искусство философствования

Некоторые функции очень сложны. Ваши налоги являются функцией вашего дохода, но лишь специалисты знают, какой конкретно функцией. Предположим, какой-то математически образованный специалист предложил использовать простую функцию, например, ваши налоги должны быть пропорциональны квадрату вашего дохода. Он дополнил свое предложение другим: ни один доход после уплаты налогов не должен превышать 25 000$. Как же эти предложения будут работать? Налоги должны быть одной сотой или тысячной частью квадрата вашего дохода в долларах. Для доходов, меньших, чем квадратный корень из 1000$ (это примерно 32$), налог должен быть меньше одного цента, и его невозможно будет собрать; для доходов в 1000$ налог будет 10$; для 2000$ – 40$; для 10 000$ – 1000$ и для 50 000$ – 25 000$. После этих выплат любое увеличение вашего дохода сделает вас беднее. Если ваш доход равен 100 000$, то налог будет равен вашему доходу, и вы будете разорены. Не думаю, что кто-либо будет защищать такую налоговую политику.

Для любой функции переменной x небольшое увеличение x будет сопровождаться небольшим увеличением или уменьшением функции, если функция дискретная. Например, пусть х – радиус круга, а функция – площадь круга, пропорциональная квадрату радиуса. Если радиус несколько увеличивается, то увеличивается площадь круга;

увеличение достигается умножением увеличения радиуса на окружность. Дифференциальное исчисление предоставляет степень (rate) увеличения функции при заданном небольшом увеличении переменной. С другой стороны, если вам известна степень увеличения функции относительно переменной, то интегральное исчисление покажет вам, каково будет в целом увеличение или уменьшение функции при изменении значений переменной. Самым простым из важнейших примеров этому является падение тела в вакууме. В данном случае ускорение тела является постоянной величиной; иными словами, увеличение скорости в любой данный момент времени пропорционально времени. Следовательно, скорость в любой момент времени пропорциональна времени, в течение которого тело падает. Исходя из этого интегральное исчисление показывает, что расстояние, преодолеваемое им при падении, пропорционально квадрату времени падения. Это можно доказать, и не используя интегрального исчисления, что было сделано Галилеем; однако в более сложных случаях интегральное исчисление является ключевым механизмом.

Математика, по крайней мере по ее собственному притязанию, является точным инструментом, и в тех случаях, когда она применяется к реальному миру, всегда существует неоправданное допущение точности. В природе не существует совершенных кругов или треугольников; планеты в реальности не движутся по точным эллипсам, а если бы и двигались, то мы бы об этом не знали. Наши возможности измерения и наблюдения ограничены. Я не говорю о том, что они имеют определенные пределы; напротив, технические достижения постоянно уменьшают эти ограничения. Однако невозможно, чтобы техника работала безошибочно или вне всяких ограничений, потому что какой бы аппарат мы не изобрели, мы, в конце концов, зависим от собственных ощущений, которые не могут различить две очень похожие вещи. Легко доказать, что существуют различия, невоспринимаемые нами. Возьмем, например, три очень близкие оттенка цвета А В и С. Возможно, вы не видите никакого различия между А и В, или между В и С, но видите различие между А и С. Это показывает, что должны существовать невоспринимаемые различия между A и B и между B и C. То же самое будет истинно и в том случае, если Л, В и С будут иметь почти одинаковую длину. Измерение длин, каким бы точным оно ни было, всегда должно оставаться приблизительным, хотя и очень близким приближением.