Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни

А. В четырех бросках одной кости выпадет шестерка.

Б. В 24 бросках двух костей выпадет двойная шестерка.

Этот шевалье был на самом деле не рыцарем, а писателем и математиком – его звали Антуан Гомбо; этот титул Гомбо дал персонажу, выражавшему его взгляды в диалогах, которые он писал. Но прозвище прилипло к нему самому, и друзья стали называть его шевалье. Он попытался решить головоломку с костями длинным путем и поставил множество опытов, снова и снова бросая кости. Но получавшиеся результаты не позволяли сделать какого-либо вывода.

Тогда он решил принести эту задачу в салон, который организовал из своей кельи монах-иезуит Марен Мерсенн. Мерсенн был своего рода центром интеллектуальной деятельности Парижа того времени: он получал интересные задачи и пересылал их другим своим корреспондентам, у которых, как ему казалось, могли появиться светлые мысли по поводу их решения. Когда дело дошло до задачи шевалье де Мере, он, несомненно, не ошибся в своем выборе. Ответу Ферма и Паскаля было суждено стать основой шортката, которому посвящена эта глава, – теории вероятностей.

Неудивительно, что длинный путь не слишком помог шевалье де Мере решить, какая ставка выгоднее. Когда Ферма и Паскаль применили к костям свой новый вероятностный подход, выяснилось, что вариант А выпадает в 52, а вариант Б – в 49 процентах случаев. Если сыграть в эту игру 100 раз, ошибки, вкрадывающиеся в основанные на случайности игры с использованием костей, с легкостью скроют эту разницу. Истинный паттерн может проявиться лишь после приблизительно 1000 партий. Этим и ценен этот шорткат. Он избавляет от большого количества трудоемких повторений экспериментов, которые к тому же могут создать ошибочное впечатление от задачи.

Шорткат, который изобрели Ферма и Паскаль, интересен тем, что он действительно помогает получить преимущество, но лишь в долгосрочной перспективе. В отдельной партии он игроку не поможет. Тут все по-прежнему зависит от воли богов. Но на долговременном масштабе он оказывает очень сильное влияние. Поэтому он очень полезен казино и не столь полезен праздному игроку, надеющемуся по-быстрому разбогатеть, бросив кости всего один раз.

В Лондоне же Пипс писал, с каким интересом он наблюдал, возвращаясь домой, как игроки стараются выкинуть семерку: «Надо было слышать, как они ругались и поносили судьбу; так, один джентльмен, который должен был выбросить “семерку” и никак не мог этого сделать, в сердцах закричал, что пусть он будет проклят, если ему впоследствии хотя бы раз удастся выкинуть “семерку”, – столь велико было его отчаяние; другие же без всякого труда выбрасывали злополучную “семерку” по нескольку раз кряду».

Действительно ли в том, что этот игрок никак не мог выкинуть семерку, было особое невезение? Стратегия, которую Ферма и Паскаль придумали для вычисления шансов получения на двух костях определенных чисел, сводилась к анализу разных вариантов выпадения костей и рассмотрению доли тех вариантов, которые дают семь очков. Первая кость может упасть шестью разными способами, что в сочетании с шестью же вариантами падения второй кости дает в общей сложности 36 разных комбинаций. Шесть из них приносят семь очков: 1 + 6, 2 + 5, 3 + 4, 4 + 3, 5 + 2 и 6 + 1. Поскольку вероятности выпадения каждой из комбинаций одинаковы, можно утверждать, что семь очков выпадают в 6 из 36 случаев. Собственно говоря, это самый вероятный из всех результатов броска двух костей. Но все же в 5 случаях из 6 семерка не выпадает. Насколько в действительности был невезуч тот джентльмен, который впал в отчаяние из-за того, что не мог выбросить семерку несколько раз подряд?

Какова же вероятность, что семерка так и не выпадет за четыре броска? Перебор всех разных сценариев кажется делом практически непосильным, потому что число возможных исходов равно 36⁴ = 1 679 616. Но тут приходят на помощь Ферма и Паскаль, потому что есть один шорткат. Чтобы получить вероятность того, что семерка не выпадет за четыре броска, нужно просто перемножить вероятности для всех этих бросков: 5/6 × 5/6 × 5/6 × 5/6 ≈ 0,48. Значит, вероятность того, что семерка не выпадет четыре раза подряд, составляет около половины – почти равные шансы.

Верно и обратное: при четырех бросках двух костей есть почти равные шансы увидеть семерку. Такой же анализ показывает, что при четырех бросках одной кости есть равные шансы получить шестерку. Значит, в том, что джентльмен, которого видел Пипс, не выкинул ни одной семерки за четыре броска, нет ничего особенно удивительного. Это все равно что не выкинуть орла, подкинув монету один раз.