Искусство схемотехники. Том 1 [Изд.4-е]

_{Упражнение 1.17. Докажите, что если А = ВС, то А = ВС, где А, В, С — амплитуды комплексных чисел. Подсказка: представьте каждое комплексное число в форме А = Ае^jθ.}

Мощность в реактивных схемах. Мгновенное значение мощности, потребляемой любым элементом схемы, определяется произведением Ρ = UI. Однако в реактивных схемах, где напряжение U и ток I связаны между собой не простой пропорциональной зависимостью, просто перемножить их нельзя. Дело в том, что могут возникать странные явления, например, знак произведения может изменяться в течение одного периода сигнала переменного тока. Такой пример показан на рис. 1.49.

Рис. 1.49.При использовании синусоидального сигнала ток через конденсатор опережает напряжение по фазе на 90°.

На интервалах А и С на конденсатор поступает некоторая мощность (правда, скорость ее изменения переменна), и благодаря этому он заряжается: накапливаемая конденсатором энергия увеличивается (мощность — это скорость изменения энергии). На интервалах В и D потребляемая мощность имеет отрицательный знак — конденсатор разряжается. Средняя мощность за период для нашего примера равна нулю; этим свойством обладают все реактивные элементы (индуктивности, конденсаторы и всевозможные их комбинации). Если вы знакомы с интегралами от тригонометрических функций, то следующее упражнение поможет вам доказать это свойство.

_{Упражнение 1.18. (дополнительное). Докажите, что схема в среднем за полный период не потребляет мощности, если протекающий через нее ток сдвинут по фазе относительно питающего напряжения на 90 °.}

Как определить среднюю потребляемую мощность для произвольной схемы?

В общем случае можно просуммировать произведения U·I и разделить сумму на длительность истекшего интервала времени. Иными словами

где Т — полный период времени.

Практически так мощность почти никогда не определяют. Нетрудно доказать, что средняя мощность определяется следующим выражением:

P = Re(U*I) = Re(UI*),

где U и I — эффективные комплексные значения напряжения и тока.

Рассмотрим пример. Допустим, что в предыдущей схеме конденсатор питается синусоидальным напряжением, эффективное значение которого равно 1 В. Для простоты будем выполнять все преобразования с эффективными значениями.

Итак: U = 1, I = U/(j/ωC), Ρ = Re[UI*] = Re(jωC) = 0. Мы получили, что средняя мощность, как и утверждалось, равна нулю.

А теперь рассмотрим схему, показанную на рис. 1.50.

Рис. 1.50.

Выполним ряд преобразований:

Z = R — j/ωC,

U = U₀,

I = U/Z = U₀/[R — j/ωC] = U₀/[R + (j/ωC)]/[R² + (1/ω²C²)],

Ρ = Re(UI*) = U₀²·R/[R² + (1/ω²C²)].

В третьей строке преобразований при определении тока I мы умножили числитель и знаменатель на комплексное число, сопряженное знаменателю, для того чтобы получить в знаменателе действительное число. Полученная величина меньше, чем произведение амплитуд U и I; ее отношение к этому произведению называют коэффициентом мощности:

Коэффициент мощности — это косинус угла, определяющего сдвиг фаз напряжения и тока, он лежит в диапазоне от 0 (для реактивной схемы) до 1 (для резистивной схемы). Если коэффициент мощности меньше 1, то это значит, что в схеме присутствует реактивный элемент.

_{Упражнение 1.19. Докажите, что вся средняя мощность предыдущей схемы рассеивается на резисторе. Для того, чтобы решить эту задачу, нужно определить величину отношения} U_R²/R_{. Определите, чему будет равна эта мощность в ваттах, если цепь, состоящая из последовательно соединенных конденсатора емкостью 1 мкФ и резистора сопротивлением 1 кОм, подключена к силовой сети с эффективным напряжением 110 В (частота 60 Гц).}