Искусство схемотехники. Том 2 (Изд.4-е)

Заметьте, что такой фильтр может обладать интересным свойством симметричности во времени, т. е. усреднением прошлого и будущего для того, чтобы сформировать текущее значение выхода.

Разумеется, реальные аналоговые фильтры умеют лишь смотреть в прошлое и соответствуют цифровым фильтрам с ненулевыми весовыми коэффициентами только при k >= 0.

Частотная характеристика симметричного фильтра. Можно показать, что частотная характеристика симметричного фильтра (h_k = h_-k) имеет вид

где t_отс — время между выборками (отсчетами). Нетрудно заметить, что h_k представляют собой коэффициенты разложения в ряд Фурье требуемой частотной характеристики. Это объясняет, почему в случае представленной ранее схемы генератора весовые коэффициенты были выбраны в соответствии с функцией (sin x)/x: они являются компонентами Фурье заграждающего НЧ-фильтра. В таких симметричных фильтрах фазовый сдвиг на любой частоте либо равен 0, либо 180°.

Рекурсивные фильтры. Можно получить интересный класс цифровых фильтров, если на вход фильтра в дополнение к внешнему входному сигналу подать собственный выходной сигнал фильтра. Такой фильтр можно рассматривать как фильтр с обратной связью. Он имеет причудливое название рекурсивный фильтр (или с бесконечной импульсной характеристикой) в противоположность рассмотренному выше нерекурсивному (с конечной импульсной характеристикой) фильтру. Можно, например, сформировать выходной сигнал в соответствии со следующим выражением:

y_i= Ay_i-1 + (1 — A)x_i

Это соответствует низкочастотной характеристике, эквивалентной той, которой обладает простой низкочастотный RC-фильтр

А = е^-t_отс/RC

где t_отс - интервал времени между последовательными выборками х_i из входного сигнала. Эта ситуация, конечно, не является идентичной ситуации с аналоговым низкочастотным фильтром, работающим с аналоговым сигналом, по причине дискретной природы отсчетов.

Пример НЧ-фильтра. В качестве числового примера предположим, что вам требуется отфильтровать ряд числовых значений, соответствующих сигналу с затуханием 3 дБ на частоте f_{3 дб} = 1/20t_отс. Таким образом, постоянная времени соответствует интервалу времени 20 последовательных отсчетов. В этом случае А = 0,95123, а выходной сигнал определяется по выражению y_i = 0,95123y_i-1 + 0,04877х_i. С увеличением постоянной времени относительно времени между отсчетами t_отс приближение к реальному НЧ-фильтру улучшается.

Для обработки данных уже представленных в виде дискретных отсчетов, как, например, массив данных в компьютере, вы, возможно, предпочтете использовать такой фильтр. Рекурсивный фильтр при этом будет реализовываться с помощью однократного прохода по данным с тривиальной арифметической обработкой. Программа НЧ-фильтра на языке Фортран будет выглядеть следующим образом:

A = exp(-TS/TC)

В = 1. — А

DO 10I = 2,N

10X(I) = A*X(I — 1) + B*X(I),

где X — матрица данных, TS — интервал времени между отсчетами (т. е. TS = 1/t_отс), а ТС — выбранная постоянная времени фильтра. Эта маленькая программа осуществляет фильтрацию на месте, т. е. она заменяет первоначальные данные отфильтрованными. Можно, конечно, создавать из отфильтрованных данных отдельный массив.

НЧ-фильтр с коммутацией. Такой же фильтр можно построить аппаратным путем, используя схему, показанную на рис. 9.92.

Рис. 9.92.Рекурсивный фильтр на коммутируемых конденсаторах.

Ключи на полевых транзисторах S₁ и S₂ коммутируются с некоторой тактовой частотой, периодически заряжая конденсатор С₁ до входного напряжения и затем передавая его заряд на конденсатор С₂. Если С₂ имеет напряжение U₂, а С₁ заряжается до входного уровня U₁, то при подключении С₁ к С₂ напряжение на обоих конденсаторах будет определяться соотношением U = (С₁U₁ + С₂U₂)/(C₁ + С₂), что эквивалентно рассмотренному ранее рекурсивному фильтру при

у_i= С₂/(C₁ + C₂)у_i-1 + С₁/(C₁ + C₂)x_i.

Приравнивая эти коэффициенты к заданному ранее значению А, получим

f_{3 дB} = (1/2π)f_отсln(C₁ + C₂)/C₂.

_{Упражнение 9.8. Покажите, что этот результат правилен.}

Этот фильтр практичен во всех отношениях и обладает одной привлекательной особенностью — электронной настройкой посредством тактовой частоты f_отс. В обычных схемах используются КМОП-ключи, а емкость С₁ берется много больше С₂. Поэтому сигнал переключения должен быть несимметричным и большую часть времени тратить на замыкание S₁.

Приведенная схема представляет собой простой пример фильтра с коммутацией; в этот класс фильтров входят фильтры, выполненные на матрицах коммутируемых конденсаторов. Они имеют периодическую частотную характеристику, что делает их удобными для использования в качестве гребенчатых и узкополосных режекторных фильтров.