Исследование психологии процесса изобретения в области математики

В «Правилах для руководства ума», где во второй половине (начиная с 14-го правила) исследуется роль воображения в науке, Декарт как будто имеет в виду процессы, аналогичные тем, о которых мы говорили. По крайней мере, это можно заключить на основании анализа «Правил», сделанного П. Бутру[85]. Например, по Бутру, Декарт считает, что «воображение само по себе неспособно создать науку… Тем не менее…, мы должны в некоторых случаях прибегать к нему. Прежде всего, фиксируя его на объекте, который мы хотим рассмотреть, мы ему помешаем запутаться или стеснять нас; затем, и что особенно важно, оно может пробудить в нас некоторые идеи». Далее: «Воображение будет особенно полезно, когда нужно решить задачу не посредством одной простой дедукции, но с помощью нескольких, не связанных между собой, результаты которых нужно сперва полностью перечислить, а затем согласовать. В самом деле, при этом нам более чем когда-либо будет необходима память в той или другой форме, чтобы помочь нам пересмотреть и связать уже полученные различные элементы доказательства, с тем чтобы вынести из них искомое общее решение; нам она будет необходима также для того, чтобы сохранить исходные данные задачи, если мы не воспользовались вначале всеми этими данными: мы могли бы их забыть, если бы не сохраняли постоянно в голове образа предмета, о котором мы рассуждаем, образа, который предоставляет их нам в любой момент».

Это та же роль образов, о которой мы говорили выше. Но Декарт не доверяет этому вмешательству воображения и желает полностью исключить его из науки. Он даже упрекает древнюю геометрию за его использование. Он хочет исключить воображение из всех отраслей науки, сводя их все к математике (что он безуспешно пытался сделать), так как математика более чем всякая другая наука состоит из абстракций.

Чтобы понять, как мы должны расценивать такую идею, мы должны лишь вспомнить, как эта программа Декарта применяется современными математиками. Прежде всего, как хорошо известно, геометрия может быть полностью сведена к числовым комбинациям с помощью аналитической геометрии, созданной самим Декартом. Но, с другой стороны, мы только что видели, что рассуждения в области теории чисел, по крайней мере для многих математиков, чаще всего могут сопровождаться образами.

Недавно знаменитым математиком Гильбертом на совершенно другой основе была дана более строгая трактовка принципов геометрии, которые, рассуждая логически, были освобождены от всякого обращения к интуиции. Начало этой работы стало теперь классическим для математиков: «Рассмотрим три системы предметов. Мы назовём точками предметы, составляющие первую систему; прямыми — составляющие вторую, и плоскостями — третью»; эта редакция ясно означает, что мы не должны никоим образом задаваться вопросом, что могут представлять из себя эти «предметы».

Логически ясно — и это самое существенное, — что поставленная задача полностью достигнута и всякое вмешательство геометрического смысла исключено. Так ли обстоит дело с психологической точки зрения? Конечно, нет. Нет никакого сомнения, что Гильберт, создавая свои «Основания геометрии», постоянно руководствовался своим геометрическим смыслом. Если кто-нибудь стал бы в этом сомневаться (чего не случится ни с одним математиком), то достаточно ему лишь мельком просмотреть книгу Гильберта. Фигуры появляются почти на каждой странице; они не помешают читателям-математикам подтвердить, что, рассуждая логически, ни один из конкретных образов не является необходимым[86].

Здесь снова речь идёт о том случае, когда автор руководствуется образами, не полагаясь на них, и это вновь оказывается возможным (по крайней мере для меня) благодаря разделению труда между собственно сознанием и сознанием краевым[87].

Декарт осуждает также обычай греческих геометров (см. выше) рассматривать отдельно какую-то часть той или иной фигуры. Нет никакого основания для такой критики. Мы находим здесь то же самое смешение процессов психических и логических. Рассматриваемый метод не угрожает строгости рассуждения, как и образ, упомянутый выше, не мешает доказательству того факта, что простые числа образуют неограниченную последовательность.

Другие мыслители

Мы имеем мало сведений по этому вопросу из других нематематических областей знания. Любопытно, что, согласно уже цитированной работе Бинэ (стр. 127–129), даже в «свободном» мышлении неопределённые образы могут возникать как представители более точных идей.