Истина и красота. Всемирная история симметрии.

Интересно, что дираковская концепция математической красоты значительно отличалась от той, которую разделяют большинство математиков. Она не включала в себя логическую строгость, и многие шаги в его работах содержали логические скачки — больше всего известен пример его «дельта-функции», обладающей внутренне противоречивыми свойствами. Тем не менее он весьма эффективно использовал эту «функцию», и в конце концов математики дали строгую формулировку его идеи, после чего она и в самом деле стала частью прекрасного.

Тем не менее, как было отмечено в книге Хельге Краф «Дирак. Биография ученого», «Все его [Дирака] великие открытия были сделаны до [середины 1930-х годов], а после 1935 года ему, в общем, не удавалось производить физические результаты, имеющие непреходящую ценность [122]. Уместно замечание, что принцип математической красоты управлял его мышлением только в течение более позднего периода».

«Уместно» — возможно, но не верно. Дирак мог явно выразить этот принцип в позднейший период, но он пользовался им и ранее. Всеего лучшие работы математически изящны, причем он опирался на изящество как на проверку того, движется ли он в правильном направлении. Отсюда следует не то, что математическая красота тождественнафизической истине, а то, что она необходимадля достижения физической истины. Одной ее недостаточно. Много прекрасных теорий при столкновении с экспериментом оказались полной бессмыслицей. Как заметил Томас Хаксли, «наука — это вышколенный и организованный здравый смысл, где погибло немало прекрасных теорий, убиенных уродливыми фактами».

Тем не менее имеется много свидетельств, что в основе своей природа прекрасна. Математик Герман Вейль, соединивший в своих исследованиях теорию групп и физику, говорил: «В своих работах я всегда пытался соединить истину с красотой, и когда мне приходилось выбрать между ними, я обычно останавливал выбор на красоте». Основатель квантовой механики Вернер Гайзенберг писал Эйнштейну: «Вы можете возразить, что, говоря о простоте и красоте, я ввожу эстетические критерии истины, и я честно признаюсь, что меня в сильной степени привлекают простота и красота математических схем, которые нам предлагает природа. Вам должно быть это знакомо — почти пугающая простота и целостность связи, которую природа неожиданно перед нами раскрывает».

Эйнштейн же полагал, что неизвестно столь много фундаментальных вещей — природа времени, источники упорядоченного поведения материи, форма вселенной, — что нам следует напоминать самим себе, сколь далеки мы от какого бы то ни было «окончательного» понимания. По мере своей полезности математическое изящество дает нам всего лишь локальные и временные истины. Тем не менее это — наилучший способ двигаться вперед.

На протяжении всей истории математика обогащалась из двух различных источников. Один — это естественный мир, а другой — абстрактный мир логической мысли. Именно комбинация этих двух источников придает математике мощь, позволяющую ей сообщать нам об устройстве вселенной. Дирак прекрасно понимал эту связь: «Математик играет в игру, где он сам изобрел правила, тогда как физик играет в игру, правила которой задаются природой, но со временем становится все более и более очевидно, что правила, которые оказываются интересными для математика, — это те же правила, что установлены природой». Чистая и прикладная математика дополняют друг друга. Они представляют собой не два противоположных полюса, а два конца единого, связного спектра мыслей.

Наш рассказ о симметрии показывает, как даже отрицательный ответ на хороший вопрос («возможно ли решить уравнение пятой степени?») может привести к глубокой и фундаментальной математике. Здесь имеет значение, почемуответ оказался отрицательным. Методы, которые это выясняют, можно использовать для решения множества других проблем — и среди них глубоких вопросов физики. Но наш рассказ также показывает, что здоровье математики зависит и от того, вдыхает ли она новую жизнь из физического мира.

Истинная сила математики лежит именно в этом замечательном слиянии человеческого чувства гармонии («красота») с физическим миром, причем оба действуют как критерий реальности («истина») и как неистощимый источник вдохновения. Нельзя решить выдвигаемые наукой задачи без новых математических идей. Однако сами по себе новые идеи, если довести их до предела, могут выродиться в бессмысленную игру. Требования науки удерживают развитие математики на той линии, где она плодотворна, а также часто подсказывают новые направления ее развития.