Истина и красота. Всемирная история симметрии.

Способ, которым я представил эти доказательства, скрывает более глубокую структуру. С более абстрактной точки зрения решения этих двух задач Античности Ванцелем сводятся к симметрийным аргументам: группы Галуа уравнений, которые отвечают геометрии, имеют «неправильную» структуру для построений циркулем и линейкой. Ванцель был хорошо знаком с группами Галуа и в 1845 году нашел новое доказательство того факта, что некоторые алгебраические уравнения нельзя решить в радикалах. Доказательство близко следовало идеям Руффини и Абеля, но позволяло упростить эти идеи и выразить их более ясно. Во введении Ванцель пишет:

Хотя доказательство [Абеля] в итоге является верным, оно представлено в настолько сложном и неясном виде, что не получило всеобщего признания. За много лет до того Руффини… рассматривал тот же вопрос еще более туманным способом… Размышляя о работах этих двух математиков, мы пришли к доказательству, представляющемуся настолько строгим, что оно устраняет все сомнения касательно этой важной части теории уравнений.

Единственной остающейся задачей Античности была квадратура круга, сводящаяся к построению отрезка, длина которого была бы точно равна π. Доказать невозможность такого построения оказалось намного сложнее. Почему? Дело не в том, что у числа πминимальный многочлен неправильной степени, а в том, что, как оказалось, у него вообще нет минимального многочлена — нет такого полиномиального уравнения с рациональными коэффициентами, корень которого был бы равен π. Таким корнем может быть число, сколь угодно близкое к π, но невозможно получить в качестве корня точно число π.

Математики девятнадцатого столетия осознавали, что различие между рациональными и иррациональными числами можно было с пользой для себя сделать более тонким. Имелись иррациональные числа различных видов. Относительно «ручные» иррациональности, подобные √2, нельзя точно выразить в виде дроби (т.е. записать как рациональное число), но их можно представить, используярациональные числа. Они удовлетворяют уравнениям, коэффициенты которых — рациональные числа; в случае числа √2 это уравнение x ² − 2 = 0. Про такие числа говорят, что они алгебраические. Но математики осознали, что в принципе могут существовать иррациональные числа, не являющиеся алгебраическими, связь которых с рациональными числами намного менее прямая, чем для алгебраических чисел. Они во всем выходили за границы царства рациональности.

Самый первый вопрос состоял в том, действительно ли такие «трансцендентные» числа существуют [31]? Греки полагали, что всечисла могут быть рациональными, пока Гиппас не развеял эти иллюзии, а Пифагор, как говорят, пришел в такое негодование, что велел выбросить за борт гонца, принесшего эту весть. (Более вероятно все же, что Гиппаса просто изгнали из пифагорейской школы.) Математикам девятнадцатого столетия было известно, что всякая вера в то, что все числа являются алгебраическими, равным образом должна была привести к трагедии, но в данном случае они довольно долго не могли найти своего Гиппаса. Все, что требовалось, — это доказать, что некоторое конкретное вещественное число — разумным кандидатом было число π —не является алгебраическим. Но уже достаточно трудно доказать, что некоторое число — например, π —иррационально, для чего надо убедиться в том, что не существует ни одной пары целых чисел, которая давала бы πв результате деления одного числа на другое. Чтобы доказать, что некоторое число не является алгебраическим, надо заменить эти гипотетические целые числа на все возможные уравнения любой степени, а затем прийти к противоречию. Дело сильно запутывается.

Первый значительный прогресс был достигнут немецким математиком и астрономом Иоганном Ламбертом в 1768 году. В работе о трансцендентных числах он доказал, что πиррационально, и его метод проложил дорогу всем последующим исследователям. Ламберт существенно использовал идеи из анализа, в особенности концепцию интеграла. (Интеграл заданной функции представляет собой функцию, скорость изменения которой есть исходная функция.) Исходя из предположения, что πв точности равняется некоторой дроби, Ламберт предложил вычислить достаточно сложный интеграл [32]изобретенный им специально для этой цели, куда входили не только многочлены, но и тригонометрические функции. Имеются два разных способа вычисления этого интеграла. Один из них дает в ответе нуль. Другой показывает, что ответ неравен нулю.