Истина и красота. Всемирная история симметрии

В октонионах имеется восемь единиц: обычное число 1 и еще семь, обозначаемые как e₁, e₂, e₃, e₄, e₅, e₆ и e₇. Квадрат любой из этих семи равен −1. Диаграмма определяет их правила умножения. Пусть нам надо умножить e₃ на e₇. Ищем на диаграмме точки 3 и 7 и соединяющую их прямую линию. На ней имеется третья точка — в данном случае точка 1. Следуя по стрелкам, мы идем от 3 к 7 и далее к 1, так что e₃e₇ = e₁. Если порядок обратный, то надо дополнительно взять знак минус: e₇e₃ = −e₁. Если проделать это для всех возможных пар единиц, получится полная картина арифметики октонионов. (Со сложением и вычитанием все всегда просто, а деление следует из умножения.)

Плоскость Фано — геометрия с семью точками и семью прямыми.

Грейвс и Кэли не знали об этой связи с конечной геометрией, поэтому они выписывали таблицу умножения для октонионов. Как плоскость Фано помогает выразить эту таблицу, было открыто много позже.

На протяжении многих лет октонионы оставались диковинкой второго сорта. В отличие от кватернионов у них не было ни геометрической интерпретации, ни применений в науке. Даже внутри чистой математики из них, казалось, ничего не следует; неудивительно, что они впали в безвестность. Но все изменилось, когда выяснилось, что октонионы — источник наиболее причудливых алгебраических структур, известных в математике. Они дают объяснение, откуда на самом деле берутся пять Киллинговых исключительных групп Ли G₂, F₄, E₆, E₇ и E₈. А группа E₈ — самая большая из исключительных групп Ли — фигурирует дважды в качестве группы симметрии, на которой основана 10-мерная теория суперструн, обладающая необычайно приятными свойствами и рассматриваемая многими физиками как наилучший на данный момент кандидат на Теорию Всего.

Если мы соглашаемся с Дираком в том, что корни вселенной — в математике, то мы можем сказать, что вероятная Теория Всего существует постольку, поскольку существует E₈, а E₈ существует постольку, поскольку существуют октонионы. Что открывает перед нами занятную философскую возможность: структура, лежащая в основе нашей вселенной (про которую мы знаем, что она очень специальная), выделена своей связью с уникальным математическим объектом — октонионами.

Красота есть истина, а истина — красота. Пифагорейцам и платоникам понравилось бы такое свидетельство определяющей роли математических структур в картине нашего мира. Октонионы обладают зачаровывающей, сюрреалистической математической красотой, за которую Дирак ухватился бы в качестве причины, указывающей, почему 10-мерная теория струн должна быть истинной. Если же она, на нашу беду, окажется ложной, то будет, тем не менее, даже более интересной, чем что бы то ни было иное, которое окажется истинным. Правда, нам известен и тот факт, что прекрасные теории не обязательно истинны, и до тех пор, пока по поводу суперструн не будет вынесен вердикт, эта возможность должна оставаться только гипотезой.

Какова бы ни была их важность в физике, круг идей, связанных с октонионами, — чистое золото для математики.

Связь между октонионами и исключительными группами Ли представляет собой одно из целой серии странных соотношений между различными обобщениями кватернионов и передним краем современной физики. Я хочу достаточно глубоко рассмотреть некоторые из этих связей, чтобы вы смогли оценить, насколько они замечательны. И я собираюсь начать с некоторых из самых старых исключительных структур в математике — формул для сумм квадратов.

Одна такая формула естественно вытекает из комплексных чисел. Каждое комплексное число имеет «норму» — квадрат расстояния от числа до начала координат. По теореме Пифагора, норма числа x + iy равна x² + y². Правила умножения комплексных чисел, сформулированные Весселем, Арганом, Гауссом и Гамильтоном, говорят нам, что норма обладает очень приятным свойством. Если перемножить два комплексных числа, то нормы тоже перемножатся. На языке символов (x² + y²)(u² + v²) = (xv + yu)² + (xu − yv)². Сумма двух квадратов, умноженная на сумму двух квадратов, всегда является суммой двух квадратов. Этот факт был известен индийскому математику Брахмагупте около 650 года, а также Фибоначчи в 1200 году.

На начальном этапе математиков в теории чисел сильно занимали суммы двух квадратов, потому что с их помощью можно было различать два типа простых чисел. Легко доказать, что если нечетное число представляется в виде суммы двух квадратов, то оно должно иметь вид 4k + 1 для некоторого целого k. Остальные нечетные числа, имеющие вид 4k + 3, нельзя представить в виде суммы двух квадратов. Однако не верно, что каждое число вида 4k + 1 является суммой двух квадратов, даже если разрешить одному из квадратов равняться нулю. Первое такое исключение доставляет число 21.