Истина и красота. Всемирная история симметрии

Иногда пишут: 3-угольник, 4-угольник, 5-угольник, 6-угольник, 7-угольник и 8-угольник, — что выглядит не слишком красиво, но когда дело доходит до необходимости говорить о многоугольнике с 17 сторонами, такая запись, как «17-угольник», оказывается достаточно практичной. А что касается 65537-угольника (да, такие бывают!) — полагаю, вы уловили суть.

Эвклид и его предшественники должны были много размышлять над вопросом, какие из правильных многоугольников можно построить, поскольку Эвклид дает способы построения для многих из них. Вопрос этот оказался очень увлекательным и вовсе не простым. Греки знали, как построить правильные многоугольники со следующим числом сторон:

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 20.

Нам теперь известно, что их нельзя построить, когда число сторон равно

7, 9, 11, 13, 14, 18, 19.

Как можно заметить, неучтенным в указанном интервале осталось только одно число — 17. История о 17-угольнике будет рассказана отдельно; она важна по причинам, выходящим за рамки чисто математических.

Когда речь идет о геометрии, нет никакой альтернативы рисованию на листе бумаги с использованием реального циркуля и настоящей линейки. Работа с ними позволяет ощутить единство всего этого предмета. Я хочу показать вам мою любимую конструкцию — построение правильного шестиугольника. Я почерпнул ее из книги, которую в конце 1950-х годов дал мне мой дядя, — книга называлась Man Must Measure («Человек должен измерять») и была совершенно замечательной.

Фиксируем раз и навсегда раствор циркуля, так что все наши окружности будут одного же размера. (1) Начертим окружность. (2) Выберем точку на ней и проведем окружность с центром в этой точке. Она пересекает исходную окружность в двух новых точках, (3) Проведем окружности с центрами в этих точках и получим два новых пересечения. (4) Проведем окружности с центрами в этих точках; обе они пройдут через одну и ту же новую точку пересечения. Полученные шесть точек можно теперь соединить в правильный шестиугольник. Из эстетических соображений приятно (но математически не обязательно) дополнить картину. (5) Проведем окружность с центром в шестой точке. Тогда шесть окружностей пересекутся в центре исходной, образуя нечто вроде цветка.

Как построить правильный шестиугольник.

Эвклид использовал очень похожий метод — более простой, хотя и не такой симпатичный — и доказал, что он работает. Его можно найти в Предложении 15 Книги IV.

Глава 3 Персидский поэт

Встань! Бросил камень в чашу тьмы Восток!

В путь, караваны звезд! Мрак изнемог…

И ловит башню гордую султана

Охотник-Солнце в огненный силок.

Для большинства из нас имя Омара Хайяма неразрывно связано с его исполненными иронии четверостишиями «Рубай», а конкретнее — с их изящным переводом на английский, сделанным Эдвардом Фитцджеральдом. Однако историки математики полагают, что у Хайяма есть еще больше оснований для притязаний на славу. Он занимает видное место среди персидских и арабских математиков, подобравших брошенный греками факел и продолживших развитие новой математики после того, как знание в Западной Европе погрузилось в темные века, а ученые доказательству теорем предпочли теологические споры.

К числу великих достижений Хайяма относится решение кубических уравнений, выполненное в рамках почтенных методов греческой геометрии. Его методы по необходимости вышли за рамки циркуля и линейки, которыми молчаливо ограничивалась геометрия Эвклида, поскольку эти средства просто не пригодны для решения данной задачи — обстоятельство, о котором греки сильно подозревали, но не могли доказать из-за отсутствия необходимого подхода, лежащего в сфере алгебры, а не геометрии. Впрочем, методы Хайяма выходят за рамки циркуля и линейки не слишком сильно. Он использовал специальные кривые, называемые «коническими сечениями» — по той причине, что их можно построить, пересекая конус плоскостью.