Истина и красота. Всемирная история симметрии

Вернемся к математике Омара. Около 350 года до Р.Х. греческий математик Менехм открыл специальные кривые, известные как конические сечения, которые, как полагают исследователи, он использовал для решения задачи об удвоении куба. Архимед развил теорию этих кривых, а Аполлоний Пергский систематизировал и обобщил эту тему в своей книге «Конические сечения». Что особенно интересовало Омара Хайяма — это открытие греками того факта, что конические сечения можно применить к решению определенных кубических уравнений.

Конические сечения называются так потому, что их можно получить, пересекая конус плоскостью. Точнее говоря — двойной конус, похожий на два рожка мороженого, соединенных своими острыми концами. Одинарный конус образован набором отрезков прямых линий, которые все пересекаются в одной точке и проходят через определенную окружность — «основание» конуса. Но в греческой геометрии прямолинейный отрезок всегда можно продолжить неограниченно далеко, и в результате получается двойной конус.

Три основных типа конических сечений — это эллипс, парабола и гипербола. Эллипс представляет собой замкнутую овальную кривую, которая возникает, когда секущая плоскость проходит только через одну половину двойного конуса. (Окружность является частным случаем эллипса и получается, когда секущая плоскость в точности перпендикулярна оси конуса.) Гипербола состоит из двух симметрично расположенных незамкнутых кривых, которые в принципе уходят на бесконечность; она возникает, когда секущая плоскость проходит через обе половины двойного конуса. Парабола является переходной формой — это одна незамкнутая кривая, получающаяся, когда секущая плоскость параллельна какой-либо из прямых, лежащих на поверхности конуса.

На большом расстоянии от вершины конуса кривые, составляющие гиперболу, проходят все ближе и ближе к двум прямым линиям, которые параллельны тем прямым, где конус пересекла бы параллельная плоскость, проходящая через вершину. Эти прямые называются асимптотами.

Конические сечения.

Греческие геометры широко изучали конические сечения, и в этом и состоит их основной вклад в прогресс за рамками тех идей, что были зафиксированы Эвклидом. Эти кривые жизненно важны и в современной математике, но по причинам, сильно отличным от тех, что двигали греками. С алгебраической точки зрения они представляют собой следующие по степени простоты кривые после прямых линий. Они важны и в прикладной науке. Орбиты планет в Солнечной системе являются эллипсами, как это заключил Кеплер на основе наблюдений Тихо Браге за Марсом. Эллиптичность орбит послужила одним из соображений, которые привели Ньютона к формулировке его знаменитого «закона обратных квадратов» для гравитации. Это в свою очередь позволило понять, что целый ряд аспектов нашей вселенной ясно проявляет математические закономерности. Это радикально отразилось на астрономии, поскольку движения планет стали поддаваться вычислениям.

Большинство сохранившихся математических работ Омара посвящены теории уравнений. Он рассматривал решения двух типов. Первые, в духе Диофанта, он называл алгебраическими решениями в целых числах; пожалуй, больше подошло бы прилагательное «арифметические». Решения второго вида он называл геометрическими, под чем он понимал, что решение можно построить геометрическими средствами в терминах конкретных длин, площадей или объемов.

Свободно пользуясь коническими сечениями, Омар разработал геометрические решения для всех кубических уравнений и разъяснил их в своей книге «Алгебра», законченной в 1079 году. Поскольку отрицательные числа в то время еще не получили права на существование, уравнения приходилось каждый раз устраивать таким образом, чтобы все слагаемые оказывались положительными.

Это правило привело к возникновению огромного числа различных случаев, которые в наши дни все рассматриваются как по сути дела единственный случай, если не считать знаков при числах. Омар различает четырнадцать различных типов кубических уравнений в зависимости от того, какие слагаемые появляются в каждой части уравнения. Его классификация кубических уравнений такова:

куб = квадрат + сторона + число,

куб = квадрат + число,

куб = сторона + число,

куб = число,

куб + квадрат = сторона + число,

куб + квадрат = число,

куб + сторона = квадрат + число,

куб + сторона = число,

куб + число = квадрат + сторона,

куб + число = квадрат,

куб + число = сторона,

куб + квадрат + сторона = число,

куб + квадрат + число = сторона,

куб + сторона + число = квадрат.

Каждое из указанных слагаемых должно иметь положительный численный коэффициент.

Вы, возможно, недоумеваете, почему в списке нет случаев типа