Истина в пределе. Анализ бесконечно малых

Если теперь мы примем прирост х бесконечно малым, то есть приравняем o к нулю, то v = y, и предыдущая формула примет вид

Отсюда следует, что площадь, ограниченная кривой у = х², равна ²/₃ • ³/₂ x. Может показаться, что Ньютон пытался вычислить площадь, ограниченную кривыми определенного типа, но в действительности полученный им результат намного важнее. В первой части «Анализа» Ньютон хотел изложить общий алгоритм и подчеркнуть, что он применим не только в задачах расчета площади, «Все задачи о длине кривых, о величинах и о поверхностях тел и о центрах тяжести могут быть сведены в конце концов к определению плоской поверхности, ограниченной кривой», — делает он крайне важное замечание, за которым следует раздел под названием «Приложение вышеизложенного к другим примерам того же рода». Это замечание отделяет первую часть работы, в которой изложен общий метод, от второй, в которой излагаются различные способы его применения. Можно сказать, что результат его работы несколько неопределен: Ньютон видел огромную ценность найденного им абстрактного метода, однако, возможно, на начальном этапе, когда идея еще не оформилась окончательно, ему было сложно выразить ее доступно. Скорее всего, на этом этапе ему попросту не хватало терминов и обозначений. Он сосредоточил основное внимание на абстрактной задаче определения функции по известной производной. Кроме того, он рассматривает и обратную задачу о вычислении изменения функции (об этом рассказывается в конце книги). Наконец, он приводит краткий алгоритм расчета этого изменения (производной). Четкие правила вычисления производной позднее опубликовал Лейбниц, но не будем забывать, что в «Анализе» Ньютон изложил не все результаты, полученные им в области математического анализа к 1669 году.

Всё вышеизложенное позволяет заявить, что выход «Анализа» ознаменовал появление анализа бесконечно малых. «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов» — великолепный пример, позволяющий оценить акт творения в математике во всем его великолепии: при прочтении книги Ньютона мы становимся свидетелями процесса возникновения анализа бесконечно малых. Так, если мы углубимся в чтение «Анализа» и попытаемся увидеть уже известные нам термины и понятия современного математического анализа, это можно будет сравнить с просмотром детских фотографий человека, с которым мы познакомились уже в зрелом возрасте: сквозь еще не оформившиеся, детские черты уже проступает облик знакомого нам взрослого человека.

Закончив рукопись «Анализа», который принес автору известность среди британских математиков, Ньютон показал свой труд Барроу. Тот предложил незамедлительно отправить работу Джону Коллинзу, члену Лондонского королевского общества, который занимался обработкой почты, распространением результатов и новостей подобно Марену Мерсенну. Ньютона охватил нездоровый страх, который будет сопровождать его перед публикацией всех его трудов: обнародовать труд означало подставить его под удары критиков. Здесь следует отметить, чтобы отчасти прояснить причины полемики Ньютона и Лейбница, что в те годы понятие «публикация» имело несколько иной смысл, нежели в наши дни. Сегодня это означает публикацию в научных журналах или в виде книги, доступной всем желающим. В то время, когда книги и особенно журналы еще не набрали такую популярность, как всего несколько десятилетий спустя, публикация означала представление рукописи группе близких друзей, а также тем, кто занимался распространением научных трудов, как, например, Джон Коллинз или в особенности Марен Мерсенн.

Чтобы продемонстрировать опасения Ньютона, далее мы подробно расскажем о письмах, которые Барроу отправил Коллинзу. Сначала, 20 июля 1669 года Ньютон разрешил Барроу всего лишь уведомить Коллинза, что у него находится рукопись «Анализа», запретив упоминать имя автора и название работы: «Один мой друг, обладающий блестящими способностями, отправил мне позавчера несколько писем, в которых описывает метод вычисления размерностей величин, подобный методу Меркатора, но намного более общий применительно к решению уравнений. Я отправлю вам рукопись с одним из ближайших писем и верю, что она доставит вам удовольствие».