Истина в пределе

Тем не менее аббату Конти удалось, пусть и косвенно, сообщить об этом вопросе новому королю Англии Георгу I, а также представителям ганноверской династии при королевском дворе в Лондоне. Вместе с другими представителями знати на одной из встреч они изучили документы Ньютона, посвященные диспуту, и постановили, что Ньютон должен изложить свою версию событий в письме Лейбницу. Письмо должно было быть одобрено королем, а Лейбниц должен был в ответ направить свою версию. Таким образом, начался последний обмен письмами между Ньютоном и Лейбницем. Ситуация постепенно накалялась, и попытка примирить ученых чуть было не усугубила противостояние. Со смертью Лейбница 14 ноября 1716 года накал страстей несколько утих и вместе с тем исчезли немногие возможности уладить спор. Ньютон, продемонстрировав всю мстительность, после смерти Лейбница опубликовал их последнюю переписку и «Наблюдения» по поводу последнего письма Лейбница.

«Лейбниц умер — диспут окончен», — написал аббат Конти Ньютону 10 декабря 1716 года. Тем не менее он погрешил против истины: с уходом одного из оппонентов диспут не прекратился, так как наиболее ярые участники с обеих сторон — Джон Кейль, «обезьяна Ньютона», и Иоганн Бернулли, «ведущий математик», друг и ученик Лейбница, были живы (Кейль умер в 1721-м, Бернулли — в 1748 году). Не будем забывать и о Ньютоне, который пережил Лейбница на 10 лет, первые шесть из которых его сильнее всего заботил неоконченный диспут. Он продолжал писать всё новые и новые труды о праве на авторство математического анализа, о том, что говорилось в старых письмах и документах, о том, насколько подло поступали те, кто хотел воспользоваться его открытиями или критиковал его науку. Эти труды по большей части были неотредактированными, подобно множеству других работ Ньютона, посвященных математике, алхимии, богословию, истории… Ньютон собственноручно составил список наблюдений, поставив под сомнение и ревностно отцензурировав хвалебные слова Кристиана Вольфа в адрес Лейбница, опубликованные после его смерти в Acta eruditorum, и некролог Лейбницу, написанный Фонтенелем, секретарем Парижской академии наук.

«Мораль пуританского мира, — пишет Ф. Мэнюэль, — подобно любой христианской морали предписывает любить Бога и ближнего своего. К этим двум принципам Ньютон сводил всю религию. Однако в пуританстве также предписывалось искоренять зло. Любить и разрушать — такой была противоречивая догма».

Глава 6. Укрощенные бесконечно малые

Бесконечности, большие и малые

Анализ бесконечно малых был наполнен бесконечно большими и бесконечно малыми величинами с самого момента создания, в течение первых трех четвертей XVII века, когда его продвинули вперед Ньютон и Лейбниц, равно как и позднее, в течение всего XVIII века. Бесконечно малая величина — это числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю. Так как она не является строго равной нулю, ее можно использовать в знаменателе дроби, а так как она является бесконечно малой, ее можно принять равной нулю, когда мы хотим упростить выражение. Бесконечно большая величина, в свою очередь, остается неизменной, когда мы прибавляем к ней обычное число. Иными словами, если N — бесконечно большая величина, то выполняется достаточно необычное равенство: N + 1 = N.

Разумеется, из-за этих необычных свойств существование бесконечно больших и бесконечно малых неоднократно ставилось под сомнение. Анализ бесконечно малых регулярно критиковался из-за того, что он был основан на бесконечно малых величинах. Критики задавались вопросом: как можно получить верный результат с помощью метода, в основе которого лежит понятие, столь нечеткое с точки зрения логики?

Математики, которые начали использовать бесконечно малые в XVII веке, — Кеплер, Кавальери, Ферма, Валлис, Паскаль, Барроу (этот список далеко не полон), много раз указывали, что подобные рассуждения приводил еще Архимед. Однако они не утруждали себя написанием строгих доказательств — в отличие от Архимеда. Известные в то время труды Архимеда были опубликованы в середине XVI века, и прошло почти 50 лет, прежде чем математики того времени смогли понять и применить его непростые методы. Архимед был наиболее цитируемым автором в течение всего XVII века. Как мы уже говорили в главе 2, математики этого периода очищали методы Архимеда от геометрической «оболочки» и приводили их в арифметическом и алгебраическом виде. Эти разделы математики набирали популярность в течение XVII века, особенно после открытия аналитической геометрии Декартом и Ферма. В то время математиков больше интересовали открытия, которые можно совершить, используя необычные свойства бесконечно малых, и они не тратили время на построение строгих геометрических доказательств.

Во многих случаях подобное пренебрежение строгостью объяснялось попросту нежеланием заниматься излишней работой: «Всё это можно доказать, используя архимедовы техники, однако это потребует больших усилий», — писал Кавальери в 1635 году.