История астрономии. Великие открытия с древности до Средневековья

Доказав сначала реальность предполагаемого явления с помощью двух наблюдений Марса в той же гелиоцентрической долготе, сделанных в те моменты, когда разницы гелиоцентрических долгот планеты и Земли были равны, показав, что параллаксы вместо того, чтобы быть равными, отличаются на 1°14,5′, Кеплер определил эксцентриситет орбиты Земли с помощью наблюдений Марса в одной точке его орбиты, сделанных из нескольких точек орбиты Земли. В треугольнике между Солнцем (S), Землей (Е) и проекцией Марса на плоскости эклиптики (М) углы при S и Е известны, гелиоцентрическая долгота Марса взята либо у Браге, либо из заместительной теории; из них было найдено отношение сторон SE к SM. Аналогичным образом можно было установить отношение других радиус-векторов к SM, выбрав другие наблюдения Марса, сделанные по прошествии ровно одного или нескольких периодов сидерического обращения, и тогда нахождение радиуса круга, расстояния до S от центра и направления диаметра через S, то есть линии апсид, превращалось в простую геометрическую задачу. Из тех же наблюдений и таким же образом он определил расстояние от точки экванта до центра круга, и это расстояние, как и расстояние до Солнца от центра, было найдено равным приблизительно 0,018 00 (радиус = 1), или почти половине эксцентриситета Браге, так что уверенное подозрение Кеплера, что его следует разделить надвое и что Земля вращается точно по тем же принципам, что и планеты, полностью подтвердилось[342]. Меньшее значение эксцентриситета прекрасно согласовалось с очень малым изменением видимого диаметра Солнца в течение года, при этом обнаружилось, что разница между уравнением центра, вычисленного по старой и новой теории, оказалась незначительной и составила не более чем несколько секунд.

Подтверждение идеи Кеплера о сходстве движения Земли и планет естественно побудило его вернуться к гипотезе, высказанной в «Тайне мироздания», что это движение вызывает некая исходящая от Солнца сила; и так как действие подобной силы непременно должно так или иначе изменяться с изменением расстояния до Солнца, он пришел к мысли о переменной скорости планеты на протяжении всей ее орбиты. Таким образом, в конце концов Кеплеру удалось избавиться от птолемеевского экванта и заменить его законом, который впоследствии стал известен как второй закон Кеплера, хотя в действительности он был открыт первым. Поскольку орбиты планет расположены практически в одной плоскости, то есть плоскости эклиптики, Кеплер предположил, что сила (virtus) действует только в плоскости орбит и, следовательно, просто обратно пропорциональна расстоянию. То же самое имеет место с орбитальной скоростью, и, значит, небольшое время, за которое планета проходит по очень малой дуге орбиты, пропорционально радиус-вектору. Кеплер доказывает это для окрестности апсид в птолемеевском эксцентрическом круге и без дальнейших изысканий предполагает, что это верно для любой точки орбиты; и даже позже, признав, что орбиты имеют эллиптическую форму, он продолжал считать доказательство верным как нечто само собой разумеющееся. Сейчас нам известно, что в этом он был не прав, так как скорость в любой точке пропорциональна перпендикуляру из фокуса к касательной в рассматриваемой точке, так что теорема Кеплера верна только для апсид, где радиус-вектор перпендикулярен касательной. Но изъян в рассуждениях Кеплера любопытным образом компенсируется другим изъяном в выведении закона. Так как время, за которое планета проходит по очень малой дуге, пропорционально радиус-вектору, сумма отрезков времени, за которое планета проходит сумму малых дуг, образующих конечную дугу орбиты, будет пропорциональна сумме всех радиус-векторов, то есть (как он думает) площади сектора, описываемого радиус-вектором. Это второй недостаток, так как сумма бесконечного числа линий, находящихся бок о бок, не составляет площади, и это Кеплер должен был прекрасно понимать. Тем не менее теория всемирного тяготения доказала истинность знаменитого второго закона Кеплера, а именно что время, требующееся, чтобы описать дугу орбиты, пропорционально площади сектора, описываемого радиус-вектором. Однако способ, которым Кеплер вывел свой закон, был отнюдь не бесспорным. Он так и не узнал об ошибке в своем законе расстояний, но понимал, что сумма нескольких радиус-векторов неверно измеряет площадь сектора; но все-таки, обнаружив, что средние аномалии можно точно рассчитать по его второму закону, причем они будут согласоваться с наблюдениями, и не только для орбиты Земли, к которой он сначала применял его, но и для эллиптической орбиты Марса, он справедливо посчитал это твердо установленным фактом. Однако Марс по-прежнему причинял Кеплеру немало хлопот, поскольку, когда он из наблюдений вблизи перигелия и афелия вывел новые значения элементов, сравнение с наблюдаемыми местами в других частях орбиты вновь выявили вопиющие ошибки, которые в октантах достигали 8′.