История естествознания в эпоху эллинизма и Римской империи

Младшим современником Эратосфена и Архимеда был александрийский математик Никомед. Время его жизни определяется двумя указаниями: с одной стороны, он критикует предложенный Эратосфеном метод решения «делийской» задачи об удвоении куба, с другой же — его имя упоминается Аполлонием из Перги. Как математик Никомед известен открытием новой алгебраической кривой — конхоиды, или кохлоиды (в полярных координатах уравнение этой кривой имеет вид ρ=a+b/cosφ). Как рассказывают древние источники, в частности Прокл, Никомед очень гордился этой кривой и построил прибор для ее черчения. Он применил эту кривую для решения той же «делийской» задачи, а также для решения другой знаменитой задачи древности — трисекции угла[102]. Этим исчерпываются наши сведения о математических достижениях Никомеда.

Аполлоний из Перги был третьим великим математиком александрийской школы (к первым двум мы относим Эвклида и Архимеда). О времени его жизни имеются противоречивые свидетельства; в связи с этим некоторые исследователи полагают, что он родился около 260 г., другие же смещают эту дату примерно на три десятилетия. Имеются основания считать, что около 170 г. он был еще жив[103]. Родившись и получив первоначальное воспитание на южном побережье малоазийского полуострова, Аполлоний еще юношей уехал в Александрию, где прожил большую часть своей дальнейшей жизни, общаясь с александрийскими математиками и ведя научную, а затем и преподавательскую работу. Как сообщает он сам в предисловии к первой книге «Конических сечений», он начал работу над этим трудом по настоянию некоего геометра Навкратеса, который слушал его лекции в Александрии. Подобно Архимеду, Аполлоний посылает отдельные книги «Конических сечений» знакомым ему математикам — Эвдему из Пергама и Атталу (возможно, из Эфеса)[104]. По-видимому, он посещал эти города еще до окончания своего основного труда, а потом снова вернулся в Александрию. Из предисловия ко второй книге следует, что в Эфесе Аполлоний познакомил Эвдема с другим своим коллегой — геометром Филонидом. Из этих немногих данных можно заключить, что к концу III в. в ряде греческих городов появились математики, которые, хотя и не были творческими гениями, все же имели настолько высокую квалификацию, что могли разбираться в работах Аполлония и вести с ним дискуссии по различным проблемам геометрии.

Основное сочинение Аполлония «Конические сечения» (Κωνικά) состояло из восьми книг. Только первые четыре дошли до нас в оригинальном греческом тексте; три последующие сохранились в арабском переводе, а последняя, восьмая, считается утерянной, хотя о ее содержании мы можем судить по изложению Паппа в его «Математическом сборнике». Сам Аполлоний в предисловии к первой книге указывает, что первые четыре книги содержат общую аксиоматическую теорию предмета, а в остальных дается развитие найденных в первых книгах фундаментальных принципов.

Сама по себе идея конических сочинений не была новостью в греческой математике. Первым математиком, который еще в IV в. занялся исследованием этой проблемы (и, кстати сказать, ввел в употребление термин «конические сечения»), был ученик Эвдокса Менехм. После него конические сечения исследовались мало известным нам математиком Аристсом, а затем Эвклидом, написавшим по этому вопросу но дошедшее до нас сочинение. Нο, как отмечает Аполлоний в предисловии к своей первой книге, Эвклиду не удалось дать полной теории вопроса. Эта теория была развита и «Конических сечениях» Аполдония настолько полно и в такой законченной форме, кто никто из последующих математиков древности не смог к ней добавить буквально ничего. Все доказательства Аполлония имеют чисто геометрический характер, и в этом отношении ого труд представляет собой высшую точку, которой достигла греческая геометрическая алгебра. Перевод рассуждений Аполлония на алгебраический язык был произведен в XVII в. создателями аналитической геометрии — Декартом и Ферма. Надо, однако, признать, что, и не пользуясь алгебраической символикой, Аполлоний в своем труде очень близко подошел к методам аналитической (и даже проективной) геометрии. Так, например, он классифицирует все три вида конических сечений по характеру определяющих их уравнений (по его терминологии, «симптомов»), хотя эти уравнения записываются им в словесно-геометрической форме. По сути дела, Аполлоний дал законченную теорию кривых второго порядка, причем эта теория была изложена им не только без каких-либо алгебраических символов, но даже без использования таких понятий, как «ноль» и «отрицательная величина», которые еще не были известны греческой математике того времени[105].