История и философия науки

3.2.1. История формирования философских представлений об объекте и предмете математики. Объект познания – это то, на что направлено внимание исследователя. А направлено оно на сущность вещи. Отсюда возникает понятие «объективное знание» – знание природы объекта.

Не будет преувеличением сказать, что объектом математического знания начиная с Античности становится мир в целом. Все остальные науки изучали отдельные роды сущего (существующего), математика же была знанием в чистом виде, знанием истины как таковой. Этот объект математика сохраняет за собой по сей день, что роднит ее с философией и теологией. Мир как целое представлен в виде системы. Античность выражает системность мира через такие категории как порядок, симметрия, гармония, определенность, мера. Представленная таким образом системность мира и становится объектом математики в строгом смысле слова.

Предмет науки – это та часть объекта, изучая которую, мы сможем раскрыть его природу, решить задачу, поставленную исследованием. В Античности предметом математики становятся числа и геометрические фигуры, которые позволяют выразить и объяснить размерность, определенность, порядок, симметрию, гармонию мира, одним словом, его красоту.

Изменение предмета математики происходит в эпоху Нового времени. Это было связано с возникновением алгебры.

Идеологом алгебры в европейской математике стал Р. Декарт. Не он ее изобрел, но именно он стал систематически применять алгебраические методы решения геометрических задач. Для Античности существовала принципиальная разница между арифметикой, предметом которой было число, и геометрией, предметом которой были геометрические фигуры. Число рассматривалось как чисто идеальный объект, который может быть дан только в мышлении, а геометрические объекты даны не только в мышлении, но и в воображении. В результате Античность приписывала числу более высокий онтологический статус (чистого идеального бытия) и не допускала возможности сведения геометрии к арифметике.

Декарт деонтологизирует математику: неважно, какова природа числа или отрезка, важно, что по отношению к ним можно выполнять одни и те же операции.

Алгебру можно определить как совокупность n-арных операций, определенных на некотором множестве объектов. Математика становится наукой не о числах или геометрических фигурах, предметом математики становятся универсальные операции, применимые к объектам. Математическое мышление приобретает операциональный и инструментальный характер.

В современной математике нет единства в понимании ее предмета. Общей для представителей различных подходов является вера в то, что данная область знания описывает структуру мира. В этом смысле математику можно определить как науку о собрании абстрактных форм – структур. Данные структуры задаются системой аксиом, которые определяют математическое многообразие возможностей опыта. Важно, что одна и та же математическая структура может быть интерпретирована на различных чувственно воспринимаемых моделях. В результате уровень данных структур рассматривается в науке как самый глубокий уровень реальности. При этом все формы движения материи – физическая, химическая, биологическая, социальная, психическая и др. – становятся лишь внешними формами проявления этого глубинного уровня реальности.

Это возвращает нас к сформировавшемуся еще в Античности пониманию математики как науки, объектом которой является изучение структуры мира в предельно общей (идеальной) форме, а предметом – особого рода математические объекты.

Для истории и философии математики важным является вопрос об онтологическом и эпистемологическом статусе математических объектов. В решении этого вопроса в философии математики можно выделить несколько позиций.

Первая приписывает математическим объектам более высокий онтологический статус, чем объектам окружающего мира, и более высокий эпистемологический статус по сравнению с другими категориями познания. Эта позиция явным образом представлена в математике Платона, которая предполагает автономное самостоятельное существование мира общих понятий – идей. Позиция, утверждающая, что общее существует независимо от отдельных вещей, получила в философии название реализма. Чувственно воспринимаемый окружающий мир не может быть предметом познания, т. к. вещи окружающего мира имеют «неправильную» форму, непрерывно меняются и разными людьми воспринимаются по-разному. Чувственно воспринимаемый мир – это мир видимости, иллюзий. Истина доступна не чувственному, а теоретическому познанию, одной из форм существования которого является математика.

Математические объекты обладают особого рода бытием, признаками, которыми не могут обладать объекты чувственного мира.