История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Итак, желая решить какую-нибудь задачу, следует сперва ее рассматривать как уже решенную и дать названия всем линиям, которые представляются необходимыми для ее построения, притом неизвестным так же, как и известным. Затем, не проводя никакого различия между этими известными и неизвестными линиями, нужно обозреть трудность, следуя тому порядку, который показывает наиболее естественным образом, как они взаимно зависят друг от друга, до тех пор, пока не будет найдено средство выразить одну и ту же величину двояким образом: это то, что называется уравнением, ибо члены, полученные одним из этих двух способов, равны членам, полученным другим.

Декарт. Геометрия (1637)[13]

Это освобождало алгебру от обязательств перед однородностью размерности — ограничения, согласно которому все члены уравнения должны были иметь одинаковую размерность. Мы находим, например, выражения вроде ххх + аах = bbb: каждый элемент здесь — куб. Действительно, Декарт с удовольствием рассуждал о кривых любой степени, то есть об xⁿ. И это новшество имело огромное значение. Сейчас мы больше не считаем в математике х² фактическим квадратом. Алгебра Декарта кажется нашим современникам знакомой — он использовал начальные буквы алфавита для обозначения коэффициентов, а последние буквы алфавита для обозначения переменных. Единственный символ, который кажется нам странным, — это ∞, знак бесконечности: Декарт использовал его в качестве знака равенства.

Задача с кубами по-прежнему могла быть решена с помощью пересечения конических сечений, по методу ал-Хайями, однако теперь любому было по силам построить кубическое уравнение. Декарт изо всех сил старался связывать алгебраические манипуляции с геометрическими преобразованиями, и в итоге формула Кардано выполняла не «дополнение куба», но преобразования кубической кривой. Более того, Декарт освободил геометрию от использования построений с помощью циркуля и линейки. В «Геометрии» Декарта вы не найдете многое из того, что теперь известно как алгебраическая геометрия, например координатные оси, формулы для вычисления расстояний между точками или углов между прямыми. Важно понимать, что Декарт подарил математикам будущего новый язык постановки математических проблем и установил определенный паритет между алгебраическими и геометрическими методами.

Когда куб и «нечто» вместе
равны некоторому числу,
найдите два других числа,
отличающиеся от него.
Затем вам надо взять за правило,
что его произведение всегда будет точно равно
кубу одной трети этого «нечто».
Тогда остаток в большинстве случаев,
будучи вычтенным из кубических корней,
будет равным вашему исходному «нечто».
Во втором из этих действий,
когда куб остается одиноким,
вы будете наблюдать другие согласования:
вы сразу разделите число на две части так,
чтобы вторая произвела
точно куб трети «нечто».
Тогда у этих двух частей, по обыкновенному правилу,
Вы возьмете кубические корни и сложите их вместе.
Эта сумма и будет вашей целью.
Третье из этих вычислений
Рассчитывается с помощью второго, если вы
                  все сделали аккуратно,
поскольку по своей природе они почти согласуются.
Эти «нечто» я нашел, шагая энергичной походкой,
в году одна тысяча пять сотен четыре и тридцать
с прочным и надежным обоснованием
в городе, опоясанном морем.

Решение кубического уравнения, переданное Никколо Тартальей Джероламо Кардано в 1539 году