История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

14. Океаны и звезды

Все ранние цивилизации занимались составлением карт. Цели ставились разные — строительство, сбор налогов или подготовка к войне, однако землемер — одна из самых древних профессий, для которой были необходимы математические знания. Одна из статуй, датируемая приблизительно XXIII веком до нашей эры, изображает царя шумерского города-государства Лагаш с планом храма Нингирсу, а также с линейкой и орудием для письма. Это — самый ранний известный пример того, когда для строительства чего бы то ни было используется масштаб. Были найдены карты известного тогда мира, изображенные на вавилонских глиняных табличках, египетском папирусе и китайском шелке. Римляне продолжили греческие традиции картографирования — их трактат о землемерном деле — Corpus agrimensorum — основывается на правилах измерений и рисовании карт в масштабе.

Делая карту небольшого участка, мы можем допустить, что поверхность земли плоская, но, когда мы стремимся изобразить большие территории, искривление поверхности земли становится значимым фактором. Когда люди поняли, что Земля имеет сферическую форму, точно не известно. Согласно некоторым легендам, населено было только одно полушарие. Эратосфен, с 240 года до нашей эры ставший главным библиотекарем Александрии, составил первую известную карту, основанную на научных принципах, с неравномерной сеткой параллелей и меридианов. На его современников карта не произвела особого впечатления, и лишь «География» Клавдия Птолемея, появившаяся приблизительно в 150 году, стала общепринятым стандартом в картографии. В этой работе утверждается, что Земля имеет сферическую форму, но населена она лишь частично, и ее окружность равна 180 000 стадиям. Более точное значение высчитал Эратосфен, считавший, что окружность Земли равна 250 000 стадиям (считается, что один стадий приблизительно равен 160 метрам). Самым значительным вкладом «Географии» можно считать создание основ для преобразования сферы в плоскую поверхность. Карта Птолемея была обновлена ал-Хорезми (см. Главу 7), который полагался на знание Птолемеем стран Средиземноморья, но существенно уточнил ее в области Средней Азии.

Преобразование сферической Земли в плоскую карту всегда будет приводить к некоторым искажениям, и главная задача картографа — определение, какие факторы приводят к наибольшим искажениям, а какие — к наименьшим. Конформная проекция минимизирует искажение углов и форм объектов, в равновеликой проекции очень точны значения площадей, а в равнопромежуточной — расстояния. Как мы увидим в дальнейшем, к картам континентальных массивов и изображениям морей выдвигаются совершенно разные требования.

После того как в Европе с начала XIV века стали развиваться мореплавание и торговля, начали появляться портуланы (от итальянского слова «portolano», первоначально обозначавшего лоцию — письменные указания для мореплавателей). Они представляли собой сетку из прямых линий, или румбов, призванных помогать мореплавателям в планировании маршрутов вокруг Европы и по Средиземноморью. Главным образом портуланы делались в Венеции, Генуе и на Майорке. Эти «дедушки» нынешних лоций были удивительно точными, даже при том, что неясно, учитывалась ли в них какая-либо проекция. До сих пор ведутся споры о том, насколько активно использовались компасы (китайское изобретение), а также об объемах астрономических знаний, необходимых для навигации. Но после открытия Америки и выхода первого печатного издания «Географии» Птолемея все было готово для появления более точной карты мира. «География» Птолемея повторно появилась в Европе уже в XV веке: она впервые была напечатана в Болонье в 1477 году. В период Ренессанса использовались различные виды проекций, порой просто по эстетическим причинам. В качестве примера можно привести популярную овальную карту мира, впервые использованную Франческо Росселли (1445–1513) в 1508 году. Эти проекции были основаны скорее на графических построениях, нежели на использовании тригонометрических формул.