История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Самый простой тип игры — игра с нулевой суммой, с двумя стратегиями и двумя игроками — игра, в которой два совершенных, рационально мыслящих игрока стремятся к победе. В этой игре общий счет равен нулю, то есть то, что один игрок выигрывает, другой проигрывает. Забавный пример такой игры — «раздел пирога». Этот сценарий случается во многих домах — надо разделить пирог между двумя детьми так, чтобы ни один из них не считал, что другому досталось больше. Решение — двухступенчатый процесс; один ребенок разрезает пирог пополам, а второй ребенок имеет право первого выбора. Оба ребенка хотели бы кусок побольше, но при разумном предположении, что каждый ребенок понимает жадность другого, это оптимальное решение. Первый ребенок должен разрезать пирог самым справедливым способом, потому что, если одна часть будет намного большей, тогда второй ребенок, без сомнения, выберет именно его. Так называемая минимаксная теория, разъясненная фон Нейманом, гласит, что в этом случае возникает «седловая точка», или оптимальное решение, когда оба игрока будут довольны. Теория была дополнена включением большего числа игроков. Когда число игроков увеличивается, решение задачи становится все более трудным. Большая часть книги обсуждает игры в терминах таблиц выплат игрокам, и, по мере того, как число игроков все увеличивается, таблицы становятся все больше и больше, требуя значительных матричных расчетов.

В 1940-х годах Джон Форбс Нэш дополнил теорию игр фон Неймана играми «с ненулевой суммой». Пример такой игры — фондовая биржа: среди игроков могут быть победители и проигравшие, но общий денежный банк также меняется вследствие увеличения капитализации рынка. Нэш обнаружил, что игры с «ненулевой суммой» также имеют равновесное решение. Он родился в 1928 году в Западной Вирджинии, закончил Технологический институт Карнеги и получил докторскую степень в Принстоне, защитив в 1950 году диссертацию по бескоалиционным играм. Подготавливая докторскую диссертацию, он написал статью, которая, в сочетании с многими другими, стала основанием для присуждения ему в 1994 году Нобелевской премии по экономике. Начиная с 1951 года он занимался преподаванием в Массачусетском технологическом институте, где провел революционную работу, посвященную геометрии, многочленам Римана и евклидовому пространству. В 1959 году этот самый многообещающий из молодых математиков заболел шизофренией. События его жизни и излечение в середине 1970-х годов были описаны им лично на Всемирном конгрессе по психиатрии в 1996 году. Он продолжал создавать выдающиеся работы даже во время пребывания в больнице, занимаясь такими областями математики, как геометрия, топология и дифференциальные уравнения. Он также продолжал заниматься геометрией пространства.

Работа Нэша показала, что есть сценарии, в которых оптимальный результат не является следствием действий, кажущихся наиболее очевидными. Известный пример этого — так называемая дилемма заключенного, изобретенная Мелвином Дрешером и изложенная Альбертом Такером на лекции студентам-психологам. Сценарий при пересказывании изменился, но в его оригинальной форме двое мужчин были арестованы за нарушение закона и помещены в отдельные камеры. Если один из них признается, он будет вознагражден, а второй — оштрафован. Если оба признаются, то оба будут оштрафованы. Если ни один не признается, то они оба будут освобождены. Суть дилеммы в том, что оптимальной стратегией будет сохранять спокойствие, в результате чего оба будут выпущены на свободу, но страх, что такая стратегия может иметь неприятные последствия, если другой человек признается, вполне может вынудить обоих признаться, и тогда оба будут оштрафованы. Именно такие сценарии и стратегические игры используют на переговорах, будь то торговля, военные переговоры, бизнес или работа с персоналом. Экспериментально было выяснено, что люди отлично умеют находить теоретически оптимальные решения, и случайное отступничество ведет к быстрому и неотвратимому возмездию другой стороны — тактика, известная как «зуб за зуб».

Есть игры, в которых существует оптимальная стратегия, и как только она нащупывается, игра становится чрезвычайно тривиальной. Например, крестики-нолики — популярная детская игра, но как только ее стратегия становится понятной и каждый игрок начинает действовать согласно этой стратегии, интерес к игре сразу теряется.