История математики. От счетных палочек до бессчетных вселенных

Имя, неразрывно связанное с фрактальной геометрией, — Бенуа Мандельброт. Ныне он профессор Йельского университета и почетный профессор IBM[26]. Его интерес к тому, что он позже назвал фракталами, возник в 1951 году. В 1977 году Мандельброт издал книгу «Фракталы: форма, случай и размерность», а в 1982 году вышло ее пересмотренное и расширенное издание — «Фрактальная геометрия природы». О фракталах было написано очень много, широко известны создаваемые ими узоры в стиле рококо. В динамике была хорошо известна идея «аттракторов», например, орбита планеты — это эллиптический аттрактор. В ней существуют некоторые возмущения, но они удерживаются в определенных пределах. При решении полиномиалов числовыми методами, если итерации сходятся к определенному решению, то это решение — аттрактор. Иногда корень, который, как известно, может быть выражен графически, не может быть получен методом итерации — такой корень называют «отражателем». Но в хаотической системе вроде турбулентного воздушного потока аттрактор представляет собой фрактал, и он известен как странный аттрактор.

Как только мы понимаем, как надо правильно на это смотреть, мы находим хаотическое поведение в самых простых ситуациях. Логистическое разностное уравнение z = λz (1 — z) — простое квадратное уравнение со всего одним изменяющимся коэффициентом, обозначенным λ. Уравнение имеет два корня, как и предполагается для квадратного уравнения, но если мы используем итерационную процедуру, то обнаружим некоторые удивительные свойства. Для большинства значений λ итерация «взрывается» и отклоняется к бесконечности. Но если мы начнем с λ = 1 и начнем медленно увеличивать значение этого коэффициента, мы увидим, что итерация не отклоняется и при этом не сходится к единственному значению: вместо этого она колеблется между рядом значений. В некоторый момент система ведет себя хаотически, выполняя дикие скачки между множеством чисел. Если мы теперь добавим комплексные числа, сегмент вещественной оси разветвляется, демонстрируя фрактальную структуру. С помощью простого преобразования разностное уравнение принимает вид другого квадратного уравнения z = z² - т. Итерационный процесс весьма прост, но очень утомителен, если его выполнять вручную. Мандельброт первым с помощью компьютера распечатал то, что теперь называют множеством Мандельброта для случая, где z — комплексное число. Множество Мандельброта — по сути, ряд чисел, и его исходная одноцветная распечатка представляла собой черно-белый текст, состоящий из значений m, для которых итерация не сходилась к бесконечности — то есть тех, для которых итерации оставались ограниченными. Лишь после того, как компьютеры обзавелись более мощными принтерами и увеличилась сложность компьютерной графики, стала видна невероятная красота этой структуры, с ее зубчатыми завитками. Эта простая система выявила многие характеристики, которые Мандельброт стремился свести воедино. С помощью компьютера стало возможно увидеть самоподобие, столь характерное для фракталов, когда путем изменения масштаба изображения выполняется погружение внутрь множества, где обнаруживаются мини-множества, подобные большему целому. Возвращаясь к разностному уравнению, для комплексных значений λ итерации создают то, что Мандельброт любил называть «драконами». Страшные монстры математического анализа переродились в прекрасных существ, которые с радостью были приняты в дружную семью математики.