История западной философии

К несчастью для Пифагора, эта его теорема сразу же привела к открытию несоизмеримости, а это явление опровергало всю его философию. В прямоугольном равнобедренном треугольнике квадрат гипотенузы равен удвоенному квадрату любой из сторон. Предположим, что каждый катет равен одному дюйму; какова в таком случае длина гипотенузы? Допустим, что ее длина равна т/n дюймов. Тогда m²/n² = 2. Если т и n имеют общий множитель, разделим их на него. В таком случае по крайней мере или т, или n должно быть нечетным. Но теперь учтем, что раз m² = 2 n², следовательно, m² – четное и, стало быть, т – четное, a n – нечетное. В таком случае предположим, что т = 2 р. Тогда 4 р² = 2 п²; следовательно, п² = 2 р², следовательно, n – четное, что противоречит допущению. Поэтому гипотенузу нельзя измерить дробным числом т/п. Это доказательство является, по существу, доказательством, которое приводится у Евклида в книге X[32].

Это доказательство говорит о том, что, какую бы единицу длины мы ни выбрали, существуют отрезки, которые не находятся в точном числовом отношении к этой единице, то есть что нет таких двух целых чисел m и n, при которых рассматриваемый отрезок, взятый m раз, был бы равен единице длины, взятой n раз. Это положение привело греческих математиков к мысли, что геометрию следует развивать независимо от математики. Некоторые места в платоновских диалогах показывают, что в его время была принята независимая от арифметики трактовка геометрии; этот принцип получил свое завершение у Евклида. В книге II Евклид доказывает геометрически многое из того, что для нас естественнее было бы доказывать алгебраически, например, что (а + b)² = а² + 2аb + b². Евклид счел этот способ необходимым именно благодаря трудностям, связанным с несоизмеримостью величин. То же самое наблюдается и в толковании Евклидом пропорции в книгах V и VI. Вся система Евклида превосходна в логическом отношении, и она предвосхитила математическую строгость выводов математиков XIX века. Поскольку адекватной арифметической теории несоизмеримых величин не существовало, метод Евклида был наилучшим из возможных в геометрии методов. Когда Декарт ввел координаты в геометрию, снова вернув тем самым арифметике верховенство, он сделал предположение, что разрешение проблемы несоизмеримости вполне возможно, хотя в его время такое решение еще не было найдено.

Влияние геометрии на философию и научный метод было глубоким. Геометрия в таком виде, в каком она установилась у греков, отправляется от аксиом, которые являются самоочевидными (или полагаются таковыми), и через дедуктивные рассуждения приходит к теоремам, которые весьма далеки от самоочевидности. При этом утверждают, что аксиомы и теоремы являются истинными применительно к действительному пространству, которое является чем-то данным в опыте. Поэтому кажется возможным, используя дедукцию, совершать открытия, относящиеся к действительному миру, исходя из того, что является самоочевидным. Подобная точка зрения оказала влияние как на Платона и Канта, так и на многих других философов, стоявших между ними. Когда Декларация независимости говорит: «Мы утверждаем, что эти истины самоочевидны», – она следует образцу Евклида. Распространенная в XVIII веке доктрина о естественных правах человека является поиском евклидовых аксиом в области политики[33].

Форма ньютоновского произведения «Начала», несмотря на его общепризнанный эмпирический материал, целиком определяется влиянием Евклида. Теология в своих наиболее точных схоластических формах обязана своим стилем тому же источнику. Личная религия ведет свое начало от экстаза, теология – из математики; и то и другое можно найти у Пифагора.

Я полагаю, что математика является главным источником веры в вечную и точную истину, как и в сверхчувственный интеллигибельный мир. Геометрия имеет дело с точными окружностями, но ни один чувственный объект не является точно круглым; и как бы мы тщательно ни применяли наш циркуль, окружности всегда будут до некоторой степени несовершенными и неправильными. Это наталкивает на предположение, что всякое точное размышление имеет дело с идеалом, противостоящим чувственным объектам. Естественно сделать еще один шаг вперед и доказывать, что мысль благороднее чувства, а объекты мысли более реальны, чем объекты чувственного восприятия. Мистические доктрины по поводу соотношения времени и вечности также получают поддержку от чистой математики, ибо математические объекты, например числа (если они вообще реальны), являются вечными и вневременными. А подобные вечные объекты могут в свою очередь быть истолкованы как мысли Бога. Отсюда платоновская доктрина, согласно которой Бог является геометром, а также представление сэра Джеймса Джинса о том, что Бог предается арифметическим занятиям. Со времени Пифагора, а особенно Платона, рационалистическая религия, являющаяся противоположностью религии откровения, находилась под полным влиянием математики и математического метода.