Юный техник, 2002 № 09

Те, кто справится с большей частью из предложенных задач по математике и физике, могут выслать свои анкеты и решения в адрес редакции «Юного техника» до 31 декабря 2002 г. Жюри определит победителей, которые будут награждены дипломами и получат персональные приглашения для участия в очном туре региональной олимпиады МИИТа 2003 года на равных правах с выпускниками центра довузовского обучения.

Победителям очного тура — выпускникам средних учебных заведений результаты олимпиады будут зачтены в качестве вступительных испытаний в университет на любую специальность!

Кроме этого, пяти победителям заочного тура будут выделены целевые направления на учебу в МИИТ, гарантирующие после окончания института работу по специальности в их регионах.

Право на участие в конкурсе дает анкета с первой страницы журнала. Заполните ее, вырежьте и вложите в конверт с решениями.

Ответы без анкеты рассматриваться не будут.

На конверте обязательно сделайте пометку: МИИТ.

МАТЕМАТИКА

1. Из Ромашкова в Москву в 8 ч 00 мин отправляется паровозик, а в 8 ч 45 мин из Москвы навстречу ему отправляется скорый поезд, так что они встретились на половине пути от Ромашкова до Москвы. Если бы поезда вышли навстречу друг другу одновременно, то через 45 минут расстояние между ними составило бы четверть указанного выше расстояния. В котором часу паровозик из Ромашкова прибудет в Москву?

2. Двое игроков играют, называя целые числа от 0 до 100. Играющие по очереди называют все возрастающие числа. Очередное число должно быть больше предыдущего не меньше, чем на единицу, и не больше, чем на десять. Выигрывает тот, кто первым назовет число 100. Существует ли стратегия, заведомо гарантирующая выигрыш?

3. Остроугольный треугольник, у которого одна из сторон равна опущенной на нее высоте, разрежьте двумя прямолинейными разрезами на четыре части, из которых можно сложить квадрат.

4. Предчувствуя скорую кончину, старый шейх велел позвать двух своих сыновей и сообщил им, что в расположенном неподалеку оазисе он закопал несметные сокровища. Шейх повелел сыновьям отправиться на поиски клада, завещав его целиком тому, чей верблюд достигнет оазиса вторым. Сыновья шейха призадумались. Если каждый из них будет стремиться отстать от другого, то они никогда не доберутся до оазиса и не смогут выкопать сокровища. Изрядно поломав головы, но так ничего и не придумав, они отправились за советом к Ходже Насреддину.

Ходжа велел сыновьям спешиться и, подозвав их к себе, прошептал что-то каждому на ухо. Выслушав этот совет, наследники шейха торопливо вскочили на поджидавших их верблюдов и что было духу помчались к оазису. Сокровища достались тому, кто первым домчался до оазиса. Какой совет дал Ходжа Насреддин сыновьям шейха?

5. Дан треугольник площади S. Из отрезков, равных длинам медиан данного треугольника, строится новый треугольник, и так до бесконечности. Показать, что такое построение возможно, и найти сумму площадей всех указанных треугольников.

6. Решить уравнение

7. В темнице у одного султана было 100 камер. А в каждой камере — по одному пленнику. Двери камер были снабжены запорами, которые могли находиться только в двух положениях: либо «открыто», либо «закрыто». Ни один из пленников не знал, открыта или закрыта дверь его камеры. Султан сам следил за своими пленниками и придумал хитроумный план, чтобы запутать их и тем самым лишить всякой надежды на спасение. Он приказал страже каждый час обходить все камеры.

В первый обход стража по приказу султана должна была тайком открыть все замки. При втором обходе стража должна была изменить положение запоров на каждой второй двери, при третьем обходе — на каждой третьей двери и т. д. до тех пор, пока при сотом обходе стража не изменила положение запора на двери сотой камеры. Затем султан распорядился отпустить на свободу тех пленников, которые находились в камерах с незапертыми дверями. Из каких камер пленники вышли на свободу?

8. Решить уравнение

9. Периметр треугольника ABC в m раз больше стороны ВС, АВ =/ АС. В каком отношении медиана к стороне ВС делит диаметр вписанной в этот треугольник окружности, перпендикулярный этой стороне?

ФИЗИКА

1. Из одной и той же точки по одному направлению начали двигаться два тела: первое — равноускоренно, а второе — равномерно вдогонку первому через время t₁ после начала движения первого. Второе тело догоняет первое через время t₂. Через какое время t₃ после этого момента первое тело догонит второе?

2. В воду постепенно вливают другую, смешивающуюся с ней жидкость. Постройте графики зависимостей массы получающегося раствора от его объема, если вливаемая жидкость имеет 1) меньшую плотность, чем вода, или, наоборот, 2) большую плотность, чем вода.