Юный техник, 2004 № 12

1. На столе три одинаковых ящика. В одном из них лежат два черных шара, во втором — два белых, в третьем — черный и белый. На ящиках сделаны надписи «два белых», «два черных», «черный и белый», причем ни одна из надписей не соответствует действительности. Как, вынув только один шар, определить, где лежат какие шары?

2. Найти минимальное натуральное число, о котором известно, что:

1) если его умножить на 17, то результат разделится на 24;

2) если его разделить на 11, то результат разделится на 5;

3) если его разделить на 2, то получится квадрат некоторого натурального числа.

3. Доказать, что если сумма квадратов двух целых чисел делится на 11, то и каждое из них делится на 11.

4. Группу школьников нужно рассадить в столовой. За стол можно усадить три человека. Если сажать за стол по 2 девочки, то окажется 3 стола, где сидят одни мальчики, а если сажать за стол по 2 мальчика, то будет 2 стола с одними девочками. Сколько было девочек в группе?

5. В треугольнике ABC провести прямую, пересекающую стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно, так чтобы AM = MN = BN. В каком случае MN будет параллельна АС?

6. В урне лежали черные и белые шары, их число не более 55. Число белых относилось к числу черных как 3: 2. После того, как из урны вынули 4 шара, оказалось, что соотношение белых и черных шаров стало 4: 3. Сколько шаров лежало в урне?

7. При каком целом значении параметра отношение корней уравнения

х² + (2к—5)х — 9к = 0

равно 2?

8. Найти все тройки различных целых чисел, являющихся тремя последовательными членами геометрической прогрессии, а также первым, вторым и пятым членами арифметической прогрессии.

9. Решить систему уравнений

10. В треугольнике ABC со сторонами АВ = 14, АС = 15, ВС = 13 через основание высоты СН проводятся прямые, параллельные прямым АС и ВС, которые пересекают соответственно стороны ВС и АС треугольника в точках М и N. Прямая MN пересекает продолжение стороны АВ в точке D. Найти длину отрезка BD.

11. Решить неравенство

12. Найти все значения параметра а, при которых система неравенств

имеет единственное решение.

13. Решить уравнение

14. Какая наименьшая площадь может быть у прямоугольного треугольникаABC' в котором окружность радиуса R с центром на катете АВ касается гипотенузы и проходит через точку В.

ФИЗИКА

1. Катер без остановок поднялся вверх по реке на некоторое расстояние, а затем повернул назад и вернулся в пункт отправления. Скорость катера в стоячей воде V_k = 3 м/с. Определите скорость течения реки V_p если известно, что средняя скорость движения составила 15/16 от скорости катера в стоячей воде.

2. Автобус отправляется из города А в город А', в который он должен прибыть через 4 часа. Первый час автобус ехал с некоторой постоянной скоростью V₁. После этого, чтобы прибыть по расписанию в город А' водителю пришлось увеличить скорость движения в α = 1,2 раза. После прибытия в город А' к назначенному времени оказалось, что автобус за последний час проехал на L = 3 км больше, чем за первый час. Определите среднюю скорость движения автобуса на первой половине пути.

3. К динамометру подвешен стакан, заполненный водой до краев. Показание динамометра равно F₁ = 3Н. На дно стакана опускают небольшой камень массой m_k= 100 г, который оказывается полностью погруженным в воду. Определите новое показание динамометра. Плотность камня р = 2500 кг/м³.

4. Определите максимальное давление под крышкой скороварки, если диаметр отверстия предохранительного клапана скороварки d = 5 мм, а масса грузика, закрывающего клапан, m = 60 г. Атмосферное давление p_a равно 760 мм рт. ст. (101000 Па).

5. Какую наибольшую массу может иметь кусок железа, погруженного (полностью) в воду на нити, чтобы нить не оборвалась? Известно, что нить выдерживает силу натяжения F₁ = 200 Н. Плотность железа р_Ж =7 800 кг/м³. Массой нити пренебречь.

6. U-образная вертикально расположенная трубка постоянной площади поперечного сечения частично заполнена водой, так что расстояния от открытых концов трубки до уровня воды в коленах равны h = 5 см. Какой максимальный по толщине слой масла с плотностью p_м = 800 кг/м³ можно налить в одно из колен трубки, чтобы масло не выливалось? Масло и вода не смешиваются.

7. Имеются два цилиндрических стакана массой m_ст каждый. На дно первого кладут медный брусок массой m₁ и стакан опускают в воду так, что он плавает, погрузившись в воду до краев. Ко дну второго стакана снизу прикрепляют медный брусок массой m₂и тоже опускают в воду так, что стакан плавает, погрузившись в воду до краев. Найдите отношение масс медных брусков. Плотность меди р_м= 8900 кг/м³. Толщиной стенок и дна стаканов пренебречь.

8. С помощью нагревателя мощностью Р = 250 Вт воду в ведре удалось довести до температуры 40 °C. Каков объем воды в ведре, если после отключения нагревателя температура понизилась на 1 °C за 2 минуты? Теплоемкостью нагревателя и ведра пренебречь.