Как не ошибаться. Сила математического мышления

Автор приводит примеры из газетных статей, в которых неаккуратное использование математических понятий, даже самых простых, таких как проценты, приводит людей к дурацким выводам, и наглядно показывает, как этого следовало избежать. Особенно подробно он обсуждает такие тонкие проблемы, как множественное тестирование (необходимость учитывать количество сделанных попыток при оценке значимости желаемого результата), избирательные отчеты (результаты удавшихся опытов, например клинических испытаний, публикуются, а неудавшихся – нет, что искажает общую картину) и различные парадоксы, связанные с голосованием.

Нам, переводчику и двум редакторам, литературному и научному, было одновременно легко и сложно работать над переводом. Книга хорошо написана, и мы очень старались не испортить этого впечатления при переводе. Сложность была в том, что мы хотели, чтобы русскоязычный читатель воспринимал текст так же, как англоязычный – и не просто свободно читающий на английском языке, но сходу понимающий отсылки к очевидным для жителей США реалиям. Этого почти невозможно было добиться; верно и то, что любой перевод – это трудный компромисс между содержательностью, верностью оригиналу и сохранением авторского стиля. Здесь мы пошли по очевидному пути многочисленных комментариев; на это было проще решиться, потому что автор и сам был не прочь прокомментировать собственный текст. В единичных случаях, когда это позволяло сохранить стиль без ущерба для содержания, мы подставляли российские реалии на место американских – все такие случаи помечены в подстрочных примечаниях. В ряде мест мы решились также добавить дополнительные заметки, надеемся, это не нарушило стиль автора.

Повторю: это очень важная и нужная книга. Прочитав ее, человек приобретает не только привычку к логическому мышлению, но иммунитет к внешне внушительной демагогии, основанной на жонглировании числами. По словам Роджера Бэкона, «человек, не знающий математики, не способен ни к каким другим наукам. Более того, он даже не способен оценить уровень своего невежества, а потому не ищет от него лекарства». Последнее особенно важно, и книга Джордана Элленберга – замечательный образец лекарства, которое так нам необходимо.

Михаил Гельфанд,

доктор биологических наук, профессор,

член Academia Europaea

Посвящается Тане

Самое лучшее в математике не просто заслуживает изучения в качестве одной из задач, а должно стать неотъемлемой частью повседневного мышления, к которой разум обращается всякий раз со все большим воодушевлением.

Бертран Рассел

«Изучение математики», 1902 год[1]

Пролог А мне это пригодится?

Сейчас, в эту самую минуту, где-то в мире какая-нибудь студентка пререкается со своим преподавателем математики, вручившим ей список из тридцати определенных интегралов, на вычисление которых уйдет немалая часть ее драгоценных выходных.

На свете так много всего, чем она хотела бы заниматься. В принципе нет такого дела, за которое она не была бы готова взяться – практически за любое, но только не за решение интегралов. Это абсолютно точно, поскольку на прошлой неделе ей уже пришлось в свои выходные потратить уйму времени на почти такие же тридцать определенных интегралов. В подобном времяпровождении она не видит никакого смысла, о чем заявляет вслух. В их непростой беседе наступает тот самый момент, когда наша студентка собирается задать вопрос, которого любой преподаватель боится больше всего: И когда же мне это пригодится?

По всей вероятности, учитель математики ответит так: «Понимаю, сейчас это занятие кажется вам бессмысленным. Но имейте в виду следующее: вы еще не знаете, чем будете заниматься завтра; сегодня вы не находите никакой связи между интегралами и своим будущим, но вы можете выбрать такую профессию, в которой будет чрезвычайно важно уметь быстро и правильно вычислять определенные интегралы вручную».

Вряд ли подобный ответ удовлетворит студентку, поскольку он лживый. Что понимают и преподаватель и ученик. Количество взрослых людей, которым когда-либо пригодится интеграл (1 – 3x + 4x2)–2 dx, или формула косинуса 3θ, или синтетическое деление многочленов, можно сосчитать на нескольких тысячах рук.

Эта ложь не доставляет особого удовольствия и учителю. Мне ли не знать: за многие годы преподавания математики я давал сотням студентов задание вычислять целые списки определенных интегралов.

К счастью, есть и более подходящее объяснение. Я постараюсь его для вас сформулировать.