Как не ошибаться. Сила математического мышления

Что касается Беккета, у него было более глубокое и более благожелательное представление о двойственности, которая неизменно присутствует в его работах, принимая всевозможные эмоциональные оттенки в разных произведениях. «Продолжать… не в состоянии. Но должен. Так что буду продолжать» – это безрадостная мысль; однако Беккет обращается также к доказательству иррациональности квадратного корня из 2 Пифагора, превращая его в шутливый диалог между двумя подвыпившими героями{308}:

– Но если ты предашь меня, то тебе уготована судьба Гиппаса.

– Того самого, я полагаю, которого называли Акусматиком? – высказал предположение Вайли. – Но какое именно наказание постигло его, я не помню.

– Утоплен в глубокой луже, – объявил Нири, – за то, что разгласил теорему о несоизмеримости стороны и диагонали.

– Да сгинут все болтуны! – вскричал Вайли[342].

Не совсем ясно, насколько хорошо знал Беккет высшую математику, но в своей поздней повести Worstward Ho («Худшему навстречу») он описывает ценность неудачи в математическом творчестве более сжато и намного точнее, чем любой профессор:

Пробовал. Не сумел. Не имеет значения. Снова попробуй. Снова не сумей. Не сумей лучше[343].

И когда мне это пригодится?

Математики, с которыми мы встретились в этой книге, не просто люди, которые резко отзываются о необоснованной определенности, и не просто критики, заслуживающие уважения. Они что-то открывали и что-то создавали. Гальтон открыл регрессию к среднему значению; Кондорсе построил парадигму принятия решений в социальной сфере; Бойяи создал совершенно новую геометрию, «странный новый мир»; Шеннон и Хэмминг создали свою геометрию – пространство, в котором обитают цифровые сигналы вместо окружностей и треугольников; Вальд установил броню на самолетах в правильных местах.

Каждый математик создает что-то новое, порой большое, порой малое. Все математические труды – это продукты творчества. И сущности, которые мы можем сотворить с помощью математики, не подвержены никаким физическим ограничениям: они могут быть конечными и бесконечными; они могут быть воплощены в наблюдаемой Вселенной или нет. Сторонние зрители порой считают, что математики – это путешественники в психоделическом мире опасного умственного огня, взирающие на картины, которые свели бы обычного человека с ума. Говорят, и сами математики порой теряют разум.

Но, как мы с вами видели, все не так. Мы не безумцы; мы не пришельцы, мы не шаманы и не мистики.

Что действительно правда – это чувство математического осмысления (когда вдруг с абсолютной уверенностью, докопавшись до самой сути, понимаешь, что происходит). Особое ощущение, которое трудно обрести в других областях науки и жизни. У вас появляется осознание, что вы добрались до самого сердца Вселенной и держите руку на ее пульсе. Подобное состояние трудно описать людям, которые его никогда не испытывали.

Мы не можем сказать, что нам нравится в тех необузданных сущностях, которые мы создаем. Эти сущности требуют определения, а получив его, они не более психоделичны, чем деревья и рыбы, – они есть то, что они есть. Заниматься математикой – значит одновременно ощущать в себе этот огонь и быть ограниченным здравым смыслом. Здесь нет никакого противоречия. Логика формирует узкий канал, по которому протекает многократно усиленная интуиция.

Уроки математики просты, и в них нет чисел – в мире есть структура. Мы можем надеяться на то, что поймем хотя бы что-то в этом мире, а не будем просто смотреть в изумлении на ту картину, которую рисуют наши органы чувств; наша интуиция сильнее, когда она опирается на прочную формальную основу. И еще один урок: математическая определенность – это одно, а более гибкие убеждения, которыми мы руководствуемся в повседневной жизни, – это другое, и мы должны по возможности регулировать разницу между тем и другим.