Как развить силу ума

Раз уж я перешел к теме наблюдательности, не хочу, чтобы вы подумали, будто я забыл о своем обещании решить задачу о взвешивании «плохого цента».

Вы помните условия? У вас есть двенадцать монеток по одному центу, одна из которых или легче, или тяжелее остальных одиннадцати. У вас есть весы, на которых можно произвести только три взвешивания, чтобы определить, какая монета плохая, легче она или тяжелее.

Надеюсь, вы поэкспериментировали самостоятельно? Поначалу решение может показаться сложнее, чем сама задача. Разбирайтесь шаг за шагом, постепенно. Три приведенных ниже параграфа пронумерованы – А, B и C; буду отсылать вас к ним несколько раз по ходу объяснения. Итак, вот решение:

Следует взвесить четыре монеты против четырех. Начнем с простейшего варианта. Вы понимаете, что имеется лишь одна альтернатива: весы либо выровняются, либо нет. Предположим, что при первом взвешивании они выровнялись.

А. Теперь вы знаете, что плохой цент находится среди оставшихся четырех монет. При втором взвешивании взвесьте три из четырех против трех из уже взвешенных восьми (возьмите любые три монеты). Опять, весы либо выровняются, либо нет.

Снова предположим, что весы выровнялись. Это ваше второе взвешивание, и вы знаете, что оставшийся цент, который вы не взвешивали, и есть плохая монетка. У вас осталось еще одно взвешивание. Его можно использовать, чтобы определить, является ли этой монета, которая тяжелее или легче всех остальных. Просто взвесьте ее против любой из взвешенных одиннадцати. Теперь весы не могут выровняться. Если чаша с плохой монетой опустится, значит, монета тяжелее, если поднимется, значит, она легче.

Это одно из возможных решений. Но давайте вернемся ко второму взвешиванию (параграф А), когда вы взвешивали три хорошие монетки против трех, среди которых одна предположительно плохая. Что, если чаши весов не выровняются? Очень просто! Сосредоточьтесь на чаше с монетами, среди которых одна предположительно плохая. Если эта чаша опускается, а другая поднимается, значит, одна из трех монет плохая и тяжелее остальных. Если чаша поднимается, значит, эта монетка легче.

B. Пришла очередь третьего взвешивания. У вас три монетки, среди которых одна плохая. Просто взвесьте любую из них против любой другой. Если чаши весов выровняются, оставшаяся и есть плохая. Вы уже знаете после второго взвешивания, тяжелее она или легче. Если не выровняются, тогда знание того, тяжелее монетка или легче, поможет вам ее определить. Если второе взвешивание показало, что монетка легче, то плохой будет та монета, чаша с которой поднялась вверх. Если плохая монета тяжелее, тогда та, что опустится, и будет нужной!

Отлично, у вас есть готовое решение, если чаши весов при первом взвешивании выровнялись. Если же этого не произошло, дело усложняется. Теперь продвигайтесь вперед медленно и внимательно, мысленно представляя все описываемые действия. В конце я покажу вам простой способ, чтобы вы поняли процесс четче.

Если при первом взвешивании весы не выровнялись, четыре монеты, которые поднялись, считаются потенциально легкими, четыре монеты, опустившиеся вниз, потенциально тяжелыми. При этом четыре оставшиеся – хорошие монеты.

Проблема сводится к следующему: для последнего взвешивания нельзя оставлять больше трех монет. Вот как это можно сделать. При втором взвешивании вы снова взвешиваете четыре монеты против четырех, но на левую чашу (ради описательных целей) вы кладете одну из потенциально легких монеток и три из тех, что точно являются хорошими. На правую чашу – одну предположительно тяжелую и три оставшихся предположительно легких. У вас останутся одна точно хорошая и три предположительно тяжелых монеты. Не перепутайте, где какие лежат.

C. Теперь альтернатива та же: чаши либо выровняются, либо нет. Если чаши выровняются, плохая монета – одна из тех трех предположительно тяжелых, которые вы не взвешивали. Конец такой же, как и в параграфе B: взвесьте одну из возможных тяжелых монеток против другой. Та, что пойдет вниз, и есть плохая. Если они выровняются, плохой будет оставшаяся.

Но что если при втором взвешивании чаши не выровнялись? Предположим, левая сторона пошла вверх, а правая – вниз. В таком случае плохой монетой будет либо одна из предположительно легких монет на левой стороне, либо одна из предположительно тяжелых на правой стороне. (Вы понимаете почему, не так ли? Это не может быть одна из трех предположительно легких монет справа, иначе эта чаша поднялась бы вверх. Три оставшиеся монеты на левой чаше точно хорошие, поэтому это не может быть одна из них.)

Отлично, к последнему взвешиванию у вас остались предположительно легкая и предположительно тяжелая монеты. Просто взвесьте одну из них против любой из известных хороших. Если вы взяли предположительно тяжелую и она опустилась, это и есть нужная монета. Если чаши весов выровняются, тогда предположительно легкая уже не предположительно, а точно легкая.