Хаос и структура

a) Допустим, что континуум не содержит в себе ровно ничего, что указывало бы на конечность. Это значит, что континуум лишен категории едино–раздельности. Но если нет едино–раздельности, то нет и сплошности, ибо последняя есть не что иное, как заполненная едино–раздельность. Однако, что получится, если мы выделим из континуума все, что создает в нем сплошность, и постараемся получить едино–раздельность? Это значит, что мы получим континуум, в котором не будет никакого счетного скелета, т. е. окажется неизвестным, сплошностью чего именно является континуум. Мы получим множество всех действительных чисел, в котором, однако, нельзя будет указать ни одного рационального числа (ибо множество всех рациональных чисел—счетное), что невозможно. Это, конечно, не значит, что континуум состоит из этих едино–раздельных элементов; но это значит, что для сплошности необходим едино–раздельный скелет, который после своего заполнения и превращается в неразличимую сплошность.

b) Континуум немыслим и без инфинитезимального момента. Это значило бы, что он мыслим вне процесса становления, а тут мы пришли бы к его распадению на дискретное множество. Каждая «точка» континуума, по вышеизложенному ([п. 9]), есть именно становящаяся точка, так что лучше уже говорить не о точках, а прямо об отрезках.

c) Наконец, континуум, лишенный признаков транс–финитности, есть континуум, в котором ни одна точка не есть предельная. А это исключается самим определением континуума как совершенного множества.

Итак: континуум вне категории конечного есть сплошность неизвестно чего; он же, лишенный категории трансфинитного; есть сплошность неизвестно какая, а лишенный категории бесконечно–малого, он вообще не есть сплошность.

е) Самое же главное (оно же предпосылка, оно же резюмирующий вывод) во всем этом исследовании заключается в отрицании грубоколичественного подхода не только к категориям континуума, трансфинитных чисел и бесконечно–малых величин, но даже и к самим конечным числам и величинам. Даже и конечность числа не есть количественная характеристика числа, ибо по голому количеству еще нельзя судить, конечное оно или бесконечное. Если я сказал «пять», то только обыденная традиция человеческого сознания заставляет признать, что это есть именно нечто конечное. Сама же отвлеченно взятая пятерка — и бесконечность, и континуум, и ни то ни другое, смотря по точке зрения. В связи с этим шестерка больше, чем пятерка, но бесконечность ничуть не больше пятерки; и если математики так выражаются, то они сами же себя секут, когда начинают оперировать с бесконечными величинами. Оказывается, хотя последние только и «больше» конечных, но на самом деле они по самому существу своему совсем другие, так что неприменимо даже самое это понятие «больше» или, вернее, оно имеет тут везде разный диалектический смысл.

Одна структура — это арифметическая едино–раздель–ность; тут свое понимание[98] «большего», «меньшего» и «равного», а именно, эти понятия даны едино–раздельно, стабильно. Совсем другая структура—инфинитези–мальное становление; другое здесь и понимание «больше», «меньше» и «равняется», а именно, тут самые эти понятия даны в становлении, в текучести, поэтому и самые операции в анализе бесконечно–малых совсем другие. Как ясно из предыдущего исследования понятия трансфинитного числа и континуума, также и здесь свое собственное понимание этих >, < и =. Поэтому нельзя говорить, что бесконечное больше конечного, если само «больше» в бесконечном и конечном разное.

Можно сказать еще и так. Конечное и многочисленные виды бесконечного не есть различие предметное, бытийственное, но — чисто смысловое, а именно, вырази–тельно–смысловое. С точки зрения онтологической предметности о бытии с одинаковым правом можно сказать и что оно конечное, и что оно бесконечное, и что оно континуальное, сплошное. Можно сказать, что существует только конечное, а бесконечность и континуум есть его виды (хотя тут надо было бы проанализировать, что значит «вид»[99] Можно сказать, что существует только бесконечное, а конечное и континуум есть его виды. Можно сказать, что существует только континуум, а конечное и бесконечное есть его виды. Везде тут по–разному придется понимать термин «вид», но, не вникая в подробности, можно с некоторым грубоватым, но вполне реалистическим добродушием сказать, что одно тут «подчинено» другому и что каждая из этих категорий вполне «выводима» из другой. В одном случае «выведение» есть заполнение фона, в другом оно есть выделение и вырезывание на некоем фоне. Но зато уже ни при каком реализме недопустим ни мещанский субъективизм Брауэра и Бэра, ни рационалистическая импотенция Бореля и Лебега. Только «демон» Цермело немного высовывает свою голову из этого мещанского болота мелкого субъективизма, да и тут способен только беспомощно выставить правильный тезис, будучи не в силах претворить его в живую действительность.

§ 73. Аксиома выражения в теории вероятностей.