Кибернетика или управление и связь в животном и машине

Другой интересной проблемой является проблема многомерных временных рядов, в которых мы точно знаем лишь прошлое нескольких составляющих. Распределение величины, зависящей от более богатого прошлого, может изучаться методами, весьма близкими к уже рассмотренным. В частности, нам может понадобиться узнать распределение значений другой составляющей или множества значений других составляющих в некоторый момент прошлого, настоящего или будущего. К этому классу относится и общая задача о волновом фильтре. Даны сообщение и шум, скомбинированные некоторым образом в искаженное сообщение, прошлое которого нам известно. Нам известно также статистическое совместное распределение сообщения и шума как временных рядов. Мы ищем распределение значений сообщения в данный момент прошлого, настоящего или будущего. Затем мы разыскиваем оператор, который, будучи применен к прошлому искаженного сообщения, восстановит истинное сообщение наилучшим образом, в данном статистическом смысле. Мы можем также искать статистическую оценку какой-либо меры ошибок в нашем знании сообщения. Наконец, мы можем искать количество информации, которым располагаем в сообщении.

Особенно простым и важным является ансамбль временных рядов, связанный с броуновым движением. Броуновым движением называется движение частицы газа, толкаемой случайными ударами других частиц под действием теплового возбуждения. Теория его была разработана многими исследователями, в частности Эйнштейном, Смолуховским, Перреном и автором[142]. Если только мы не спускаемся по шкале времени до столь малых промежутков, что становятся различимыми отдельные удары частиц по данной частице, броуново движение обнаруживает любопытное явление недифференцируемости. Средний квадрат перемещения частицы в данном направлении за данный промежуток времени пропорционален длине этого промежутка, а перемещения за [c.131] последовательные промежутки времени совершенно не коррелируются между собой. Это вполне согласуется с физическими наблюдениями. Если мы нормируем шкалу броунова движения соответственно шкале времени и будем рассматривать только одну координату х, положив x(t)=0 для t=0, то вероятность того, что при 0≤t₁≤t₂…≤t_n частицы находятся между х₁ и x₁+dx₁ в момент t₁, между х₂ и x₂+dx₂ в момент t₂, …, между x_n и x_n+dх_n в момент t_n, равна

 .          (3.18)

Исходя из создаваемой этим системы вероятностей, вполне однозначной, мы можем ввести на множестве путей, соответствующих различным возможным броуновым перемещениям, такой параметр α, лежащий между 0 и 1, что: 1) каждый путь будет функцией x(t,α), где х зависит от времени t и параметра распределения α и 2) вероятность данному пути находиться в данном множестве S будет равна мере множества значений α, соответствующих путях, находящимся в S. Поэтому почти все пути будут непрерывными и недифференцируемыми.

Весьма интересен вопрос об определении среднего значения произведения x(t₁, α) … x(t_n, α) относительно α. Это среднее равно

           (3.19)

при условии 0 ≤t₁ ≤…≤ t_n. Положим

           (3.20)

[c.132]

где λ_k,1+λ_k,2+…+λ_k,n=n.Тогда выражение (3.19) примет значение

 

 

 

 

 

 

 

 .          (3.21)

Здесь первая сумма берется по j; вторая — по всем способам разбиения n элементов на пары в группах, включающих соответственно λ_k,1, …, λ_k,n элементов; произведение — по парам значений k и q, где λ_k,1 элементов среди выбранных t_k и t_q равны t₁, λ_k,2 элементов равны t₂ и т. д. Отсюда сразу же следует

           (3.22)

[c.133]

где сумма берется по всем разбиениям величин t₁, …, t_n на различные пары, произведение — по всем парам в каждом разбиении. Другими словами, если нам известны средние значения попарных произведений величин x(t_j, α), то нам известны и средние значения всех многочленов от этих величин и, следовательно, их полное статистическое распределение.

До сих пор мы рассматривали броуновы перемещения x (t_j,α), в которых t положительно. Положив

 ,          (3.23)

где α и β имеют независимые равномерные распределения в интервале (0, 1), получим распределение для ξ(t, α, β), где t пробегает всю бесконечную действительную ось. Существует хорошо известный математический прием отобразить квадрат на прямолинейный отрезок таким образом, что площадь преобразуется в длину. Надо лишь записать координаты квадрата в десятичной форме

 

           (3.24)

и положить

 ,

и мы получим искомое отображение, являющееся взаимно однозначным почти для всех точек как прямолинейного отрезка, так и квадрата. Используя эту подстановку, введем

 .          (3.25)

Теперь мы хотим определить в некотором подходящем смысле

           (3.26)

Сразу приходит мысль определить указанное выражение как интеграл Стильтьеса[143], но это встречает [c.134] препятствие в том, что ξ представляет собой весьма нерегулярную функцию от t. Однако если К приближается достаточно быстро к нулю при t→± ∞ и является достаточно гладкой функцией, то разумно положить

           (3.27)

При этих условиях мы формально получим

           (3.28)

Если теперь t и s имеют противоположные знаки, то

           (3.29)

а если они одного знака и |s|<|t|, то

 

 

           (3.30)