Кочерга Витгенштейна. История десятиминутного спора между двумя великими философами.

Поппер иным способом разрешил противоречие между своими объективистскими представлениями о мире и принципом неопределенности Гейзенберга. Да, утверждал он, в мире действительно существует вероятность, но это вовсе не означает, что мир субъективен. Мы говорим о вероятности не вследствие нашего невежества, а скорее, вследствие предрасположенности (propensity — излюбленный термин Поппера), присущей самой природе. Это — объективная составляющая мира, реальная и материальная, как, например, электричество. Иными словами, существует определенность вероятности.

Что же касается связи вероятности с принципом фальсифицируемости, то Поппер полагал, что высказывания, включающие в себя устойчивую предрасположенность — такие, как «Шестерка на игральной кости выпадает в одном случае из шести», — могут быть проверены наблюдением за достаточно большим количеством бросаний. Но единичные высказывания о предрасположенности — такие, как «Предрасположенность к тому, что до 2050 года произойдет ядерная катастрофа, составляет один шанс из ста», — не поддаются проверке и тем самым исключают себя из области науки. Можно сколько угодно проверять результаты подбрасывания монеты или шансы на рождение близнецов — но не правдоподобность ядерного Армагеддона.

Еще один вопрос, затронутый 25 октября 1946 года в НЗ, имеет даже более древнее происхождение, нежели темы индукции и вероятности: как нам постичь идею бесконечности ?

Над этой проблемой размышляли еще древние греки. В V веке до нашей эры Зенон Элейский сформулировал

несколько остроумных парадоксов, содержащих идею бесконечности. Пространство и время в их обыденном понимании Зенон полагал иллюзорными. На его взгляд, ему удалось доказать, что движение либо невозможно, либо требует бесконечного количества времени.

Согласно одному из парадоксов Зенона, бегун никогда не сможет обежать по стадиону полный круг — сначала он должен пробежать половину расстояния, потом половину оставшейся половины, потом снова половину оставшейся половины и так далее. То есть, чтобы замкнуть окружность, необходимо пройти 1/2 ее длины, затем 1/4, затем 1/8,1/16,1/32,1/64 и так далее. Оставшееся расстояние все больше стремится к нулю, но никогда не достигает его; последовательность бесконечна. Согласно этой логике, незадачливый атлет вообще не тронется с места — ибо, чтобы переместиться с линии старта в какую-то точку, ему придется сначала достичь точки, находящейся на полпути к ней, а для этого сначала нужно достичь точки, находящейся в четверти пути, в одной восьмой, в одной шестнадцатой и так далее. Таким образом, наш бегун логически обречен оставаться на старте.

Самый знаменитый парадокс Зенона — «Ахиллес и черепаха» — тоже связан с бегом. По Зенону, быстроногий Ахиллес никогда не догонит черепаху (которой, в силу ее медлительности, при старте дана была фора): пока он добежит до места, с которого рептилия начала движение, она тоже проползет немного вперед, и Ахиллесу придется теперь преодолевать это дополнительное расстояние; но пока он сделает это, черепаха вновь уйдет вперед — и так далее.

Многие парадоксы Зенона обсуждаются и в наши дни. Такой живучести способствовал интерес к ним Аристотеля, который ввел понятия «актуальной» и «потенциальной» бесконечности и доказывал, что смысл имеет только потенциальная бесконечность. Например,

длину беговой дорожки стадиона можно делить на бесконечное множество частей — в том смысле, что, на сколько бы частей она ни была поделена, теоретически всегда можно делить еще и еще, но не в том смысле, что ее действительно, в реальности, можно разделить на бесконечное множество частей; то есть бесконечность этих частей «потенциальна», но не «актуальна».

На протяжении более чем двух тысячелетий это была ортодоксальная дихотомия, в рамках которой помещалась концепция бесконечности. Только с появлением во второй половине XIX века работ немецкого математика Георга Кантора математики нашли способ «приручить» бесконечность, выразить ее в более или менее понятных терминах.

Кантор, обращаясь все к той же аристотелевой дихотомии, доказывал, что существует актуальная бесконечность, а не только потенциальная. По Кантору, два бесконечных множества равны между собой, если их элементы образуют пары с отношением один к одному. Так, например, бесконечное множество 1, 2, 3,4, 5,… равно по величине бесконечному множеству 1, 5, 10, 15, 20,…, потому что элемент 1 образует пару с элементом 1, элемент 2 — с элементом 5, элемент 3 — с элементом 10 и так далее. Подобное соотношение один к одному позволяет справиться с некоторыми трудностями и загадками бесконечности. В частности, Кантор считал, что ему удалось показать возможность строгого математического подхода к актуальной бесконечности.